§1 はじめに 符号理論における基本定理の一つに，MacWilliams恒等式があります． E E E n ≔ # E n \coloneqq \card{E} n : = # E F q \F_{q} F q C ≤ F q E C \leq \F_{q}^{E} C ≤ F q E
C ⊥ ≔ { u ∈ F q E : u ⋅ c = 0 for all c ∈ C } C^{\perp}
\coloneqq
\{ u \in \F_{q}^{E} : u \cdot c = 0 \text{ for all } c \in C \} C ⊥ : = { u ∈ F q E : u ⋅ c = 0 for all c ∈ C } を考えます．ここで
u ⋅ c = ∑ e ∈ E u e c e u \cdot c = \sum_{e \in E} u_{e}c_{e} u ⋅ c = e ∈ E ∑ u e c e です． 符号語 c ∈ F q E c \in \F_{q}^{E} c ∈ F q E 台 (support ) と Hamming重み (Hamming weight ) を
supp ( c ) ≔ { e ∈ E : c e ≠ 0 } , wt ( c ) ≔ # supp ( c ) \supp(c) \coloneqq \{ e \in E : c_{e} \neq 0 \},
\qquad
\wt(c) \coloneqq \card{\supp(c)} supp ( c ) : = { e ∈ E : c e = 0 } , wt ( c ) : = # supp ( c ) と書きます． 線形符号 C C C 重み多項式 (weight enumerator ) を
W C ( X , Y ) ≔ ∑ c ∈ C X n − wt ( c ) Y wt ( c ) W_{C}(X,Y)
\coloneqq
\sum_{c \in C} X^{n - \wt(c)} Y^{\wt(c)} W C ( X , Y ) : = c ∈ C ∑ X n − wt ( c ) Y wt ( c ) で定めます． MacWilliams恒等式は，双対符号の重み多項式が， C C C
W C ⊥ ( X , Y ) = 1 # C W C ( X + ( q − 1 ) Y , X − Y ) . W_{C^{\perp}}(X, Y)
=
\frac{1}{\card{C}}
W_{C}\bigl( X + (q - 1)Y, X - Y \bigr). W C ⊥ ( X , Y ) = # C 1 W C ( X + ( q − 1 ) Y , X − Y ) . これがMacWilliams恒等式です．
この連載では，MacWilliams恒等式の証明を手掛かりに， 周辺分野・周辺概念への入門を試みます． そのため，本連載では以下のような読者を対象としています：
符号理論の初歩，具体的には
程度は既知であることを前提としています (MacWilliams恒等式の証明は知らなくても問題ありません)．
格子の節では，大学初年級の線形代数，特に基底，行列式，転置行列，逆行列を使います． 部分格子の指数では，商群と有限指数部分群の初歩を使います． Smith標準形を知らない読者は，部分格子の指数と余体積の公式を標準事実として認めても構いません．
本稿は第1回から第10回を前提にしません． 連載全体ではMacWilliams恒等式の複数の証明を比較していますが， 本稿だけを読むために過去回の内容は必要ありません． 必要な範囲の格子，双対格子，余体積，Fourier変換，Poisson和公式，テータ関数，構成法Aは本文中で導入します． ただし，Fourier変換の基本性質やPoisson和公式そのものの証明まで追うには， 多変数微積分，Lebesgue積分，優収束定理，Fubini・Tonelliの定理， Fourier級数の基礎を使います． これは過去回への依存ではなく，本稿内の解析的な証明を詳しく読むための追加の予備知識です． 記事の主線だけを追う場合は，解析部分の証明を読み飛ばしても構いません． その場合は，後半で使う標準事実として，
任意の点の十分小さい近傍に台を持ち，その点で指定された値を取る滑らかなコンパクト台関数，すなわちbump関数を構成できること，
Fourier変換がSchwartz関数空間の自己同型であること，
積型関数のFourier変換が座標ごとの積に分解すること，
を認めれば十分です． 構成法A：符号から格子を作る まで読んだあと， Fourier変換とPoisson和公式の要約 で採用する Fourier変換の規約と定理文を確認し， 格子テータ関数 から読み進めれば主線に戻れます． 詳細な解析的証明は 付録：Fourier変換とPoisson和公式の証明 にまとめています．
この連載では，MacWilliams恒等式の証明手法を大きく次の五つの系統に分けて眺めています． ただし，この分類は連載全体の見取り図であり，本稿の証明を読むために必須ではありません：
今回扱う証明は，表面的には
格子・双対格子・構成法A・テータ関数・Poisson和公式
の言葉で書かれます． 五つの系統に圧縮すれば，これは「Fourier・指標・Poisson系 」に属します． なぜなら，格子テータ関数の変換公式はPoisson和公式から来ており， そのPoisson和公式は連続的なFourier解析の基本公式だからです． ただし，本稿の主役は有限アーベル群の指標論ではありません． 今回の目標は，MacWilliams恒等式の証明を案内役として， ユークリッド空間の格子 とテータ関数 に入門することです．
一つ注意があります． 標準整数格子を使う構成法Aは，合同式 Z → Z / p Z ≅ F p \Z \to \Z/p\Z \cong \F_{p} Z → Z / p Z ≅ F p q = p q = p q = p C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E q = p d q = p^{d} q = p d F q \F_{q} F q F p \F_{p} F p d d d p p p
今回の見取り図は次の通りです． まず，p p p C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E R E \R^{E} R E
Λ ( C ) = { m p ∈ R E : m ∈ Z E , m m o d p ∈ C } \Lat(C)
=
\left\{
\frac{m}{\sqrt{p}} \in \R^{E}
: m \in \Z^{E},\, m \bmod p \in C
\right\} Λ ( C ) = { p m ∈ R E : m ∈ Z E , m mod p ∈ C } を作ります． この格子の双対格子は，双対符号から作った格子 Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) x ↦ e − π t ∥ x ∥ 2 x \mapsto \e^{-\pi t\norm{x}^{2}} x ↦ e − π t ∥ x ∥ 2
構成法Aと符号・格子の関係については Conway–Sloane [CS99] や Ebeling [Ebe94] が標準的な参考文献です． 格子とテータ関数，Poisson和公式については Serre [Ser73] も古典的で読みやすい文献です． 二元符号の重み多項式と格子テータ関数の関係を扱う 先駆的な文献としては Broué–Enguehard [BE72] があります． p p p [Key12] があります． 本稿ではこれらの一般論をすべて展開するのではなく， 必要な解析的標準事実を明記した上で扱う F p \F_{p} F p F p d \F_{p^{d}} F p d
§2 ユークリッド空間の格子 まず，格子という言葉を導入します． ここでいう格子は，英語でいうとlatticeですが， 順序論で現れるlattice（束）とは全く別の概念です． 本稿でいう格子は，ユークリッド空間の中に規則正しく並んだ離散的な点集合です．
定義2.1．
R n \R^{n} R n Λ \Lat Λ 格子 (lattice ) であるとは， R n \R^{n} R n b 1 , b 2 , … , b r ∈ R n b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r} \in \R^{n} b 1 , b 2 , … , b r ∈ R n
Λ = Z b 1 + Z b 2 + ⋯ + Z b r = { m 1 b 1 + ⋯ + m r b r ∣ m 1 , … , m r ∈ Z } \Lat
=
\Z b_{1} + \Z b_{2} + \dots + \Z b_{r}
=
\left\{
m_{1}b_{1} + \dots + m_{r}b_{r}
\mid m_{1}, \dots, m_{r} \in \Z
\right\} Λ = Z b 1 + Z b 2 + ⋯ + Z b r = { m 1 b 1 + ⋯ + m r b r ∣ m 1 , … , m r ∈ Z } と書けることをいう． このとき r r r Λ \Lat Λ 階数 (rank ) という． 特に r = n r = n r = n Λ \Lat Λ フルランク格子 (full-rank lattice ) という．
定義に現れる一次独立なベクトル b 1 , … , b r b_1,\dots,b_r b 1 , … , b r Λ \Lat Λ 格子基底 と呼びます． 一次独立性により，各格子点 m 1 b 1 + ⋯ + m r b r m_1b_1+\dots+m_rb_r m 1 b 1 + ⋯ + m r b r
この定義から，格子は有界集合の中に有限個の点しか持たないことが分かります． B = ( b 1 ⋯ b r ) B=(b_1\,\cdots\,b_r) B = ( b 1 ⋯ b r )
と書きます． b 1 , … , b r b_1,\dots,b_r b 1 , … , b r B : R r → R n B\colon\R^r\to\R^n B : R r → R n ∥ B u ∥ \norm{Bu} ∥ B u ∥ c > 0 c>0 c > 0
∥ B u ∥ ≥ c ∥ u ∥ ( u ∈ R r ) \norm{Bu}\geq c\norm{u}
\qquad(u\in\R^r) ∥ B u ∥ ≥ c ∥ u ∥ ( u ∈ R r ) が成り立ちます． よって
∥ B m ∥ ≤ R ( m ∈ Z r ) \norm{Bm}\leq R
\qquad(m\in\Z^r) ∥ B m ∥ ≤ R ( m ∈ Z r ) を満たす整数ベクトル m m m ∥ m ∥ ≤ R / c \norm{m}\leq R/c ∥ m ∥ ≤ R / c N Λ ( s ) N_{\Lat}(s) N Λ ( s )
本稿では，主に R E \R^{E} R E E E E n ≔ # E n \coloneqq \card{E} n : = # E E = { 1 , 2 , … , n } E = \{ 1, 2, \dots, n \} E = { 1 , 2 , … , n }
例2.2（標準整数格子）．
最も基本的な格子は標準整数格子 (standard integer lattice ) Z n ⊆ R n \Z^{n} \subseteq \R^{n} Z n ⊆ R n Z n \Z^{n} Z n e 1 , … , e n \bm{e}_{1}, \dots, \bm{e}_{n} e 1 , … , e n
Z n = Z e 1 + ⋯ + Z e n \Z^{n} = \Z \bm{e}_{1} + \dots + \Z \bm{e}_{n} Z n = Z e 1 + ⋯ + Z e n と書ける．
例2.3（一次元格子）．
R \R R α > 0 \alpha > 0 α > 0
α Z = { α m ∣ m ∈ Z } \alpha\Z = \{ \alpha m \mid m \in \Z \} α Z = { α m ∣ m ∈ Z } は格子である． α Z \alpha\Z α Z α \alpha α
格子を考えるとき，基本領域とその体積が重要になります． フルランク格子 Λ = Z b 1 + ⋯ + Z b n ⊆ R n \Lat = \Z b_{1} + \dots + \Z b_{n} \subseteq \R^{n} Λ = Z b 1 + ⋯ + Z b n ⊆ R n
P ( b 1 , … , b n ) = { t 1 b 1 + ⋯ + t n b n ∣ 0 ≤ t i < 1 } \mathcal{P}(b_{1}, \dots, b_{n})
=
\left\{
t_{1}b_{1} + \dots + t_{n}b_{n}
\mid 0 \leq t_{i} < 1
\right\} P ( b 1 , … , b n ) = { t 1 b 1 + ⋯ + t n b n ∣ 0 ≤ t i < 1 } を考えます． これは，格子による平行移動で R n \R^{n} R n B = ( b 1 ⋯ b n ) B=(b_1\,\cdots\,b_n) B = ( b 1 ⋯ b n ) P = B [ 0 , 1 ) n \mathcal P=B[0,1)^n P = B [ 0 , 1 ) n x ∈ R n x\in\R^n x ∈ R n u = B − 1 x u=B^{-1}x u = B − 1 x
x = B m + B t , m ∈ Z n , t ∈ [ 0 , 1 ) n x=Bm+Bt,
\qquad
m\in\Z^n,\quad t\in[0,1)^n x = B m + B t , m ∈ Z n , t ∈ [ 0 , 1 ) n と書けます． したがって集合族
{ P + λ : λ ∈ Λ } \{\mathcal P+\lambda:\lambda\in\Lat\} { P + λ : λ ∈ Λ } は R n \R^n R n
定義2.4．
フルランク格子 Λ ⊆ R n \Lat \subseteq \R^{n} Λ ⊆ R n b 1 , … , b n b_{1}, \dots, b_{n} b 1 , … , b n B = ( b 1 ⋯ b n ) B = (b_{1}\, \cdots \, b_{n}) B = ( b 1 ⋯ b n )
vol ( R n / Λ ) ≔ ∣ det B ∣ \vol(\R^{n}/\Lat)
\coloneqq
\abs{\det B} vol ( R n /Λ ) : = ∣ det B ∣ を Λ \Lat Λ 余体積 (covolume ) という．
R n / Λ \R^n/\Lat R n /Λ
別の格子基底を選び，その基底行列を B ′ B' B ′ U U U
B ′ = B U , U ∈ G L n ( Z ) , det U = ± 1 B'=BU,
\qquad
U\in\mathrm{GL}_n(\Z),
\qquad
\det U=\pm1 B ′ = B U , U ∈ GL n ( Z ) , det U = ± 1 と書けます． したがって
∣ det B ′ ∣ = ∣ det B ∣ ∣ det U ∣ = ∣ det B ∣ \abs{\det B'}=\abs{\det B}\abs{\det U}=\abs{\det B} ∣ det B ′ ∣ = ∣ det B ∣ ∣ det U ∣ = ∣ det B ∣ であり，余体積は基底の選び方に依存しません．
例2.5．
Z n \Z^{n} Z n 1 1 1 α Z ⊆ R \alpha\Z \subseteq \R α Z ⊆ R α \alpha α
直感的には，余体積が小さいほど格子点は密に詰まっています． 符号から作る格子では，符号 C C C # C \card{C} # C
命題2.6（部分格子とスカラー倍の余体積）．
L ′ ⊆ L ⊆ R n L^{\prime} \subseteq L \subseteq \R^{n} L ′ ⊆ L ⊆ R n [ L : L ′ ] \lbrack L:L^{\prime}\rbrack [ L : L ′ ] L / L ′ L/L^{\prime} L / L ′
vol ( R n / L ′ ) = [ L : L ′ ] vol ( R n / L ) \vol(\R^{n}/L^{\prime})
=
\lbrack L:L^{\prime} \rbrack \,\vol(\R^{n}/L) vol ( R n / L ′ ) = [ L : L ′ ] vol ( R n / L ) が成り立つ． また，γ ∈ R ∖ { 0 } \gamma \in \R \setminus \{ 0 \} γ ∈ R ∖ { 0 }
vol ( R n / γ L ) = ∣ γ ∣ n vol ( R n / L ) \vol(\R^{n}/\gamma L)
=
\abs{\gamma}^{n}\vol(\R^{n}/L) vol ( R n / γ L ) = ∣ γ ∣ n vol ( R n / L ) が成り立つ．
証明 L = B Z n L = B\Z^{n} L = B Z n L ′ ⊆ L L^{\prime} \subseteq L L ′ ⊆ L A A A
L ′ = B A Z n L^{\prime} = BA\Z^{n} L ′ = B A Z n と書ける． このとき L / L ′ ≅ Z n / A Z n L/L^{\prime}\cong\Z^{n}/A\Z^{n} L / L ′ ≅ Z n / A Z n ∣ det A ∣ \abs{\det A} ∣ det A ∣ [ L : L ′ ] = ∣ det A ∣ \lbrack L:L^{\prime} \rbrack = \abs{\det A} [ L : L ′ ] = ∣ det A ∣
vol ( R n / L ′ ) = ∣ det ( B A ) ∣ = ∣ det A ∣ ∣ det B ∣ = [ L : L ′ ] vol ( R n / L ) \vol(\R^{n}/L^{\prime})
=
\abs{\det(BA)}
=
\abs{\det A}\abs{\det B}
=
\lbrack L : L^{\prime} \rbrack \,\vol(\R^{n}/L) vol ( R n / L ′ ) = ∣ det ( B A ) ∣ = ∣ det A ∣ ∣ det B ∣ = [ L : L ′ ] vol ( R n / L ) となる． スカラー倍については，γ L = ( γ B ) Z n \gamma L = (\gamma B) \Z^{n} γ L = ( γ B ) Z n
vol ( R n / γ L ) = ∣ det ( γ B ) ∣ = ∣ γ ∣ n ∣ det B ∣ \vol(\R^{n}/\gamma L)
=
\abs{\det(\gamma B)}
=
\abs{\gamma}^{n}\abs{\det B} vol ( R n / γ L ) = ∣ det ( γ B ) ∣ = ∣ γ ∣ n ∣ det B ∣ となる．
証明終わり □
§3 双対格子 次に双対格子を導入します． 符号理論で双対符号が重要だったように，格子論でも双対格子が重要です．
R n \R^{n} R n
⟨ x , y ⟩ = x 1 y 1 + ⋯ + x n y n \inner{x}{y}
=
x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} ⟨ x , y ⟩ = x 1 y 1 + ⋯ + x n y n があります． 座標集合 E E E
⟨ x , y ⟩ = ∑ e ∈ E x e y e \inner{x}{y}
=
\sum_{e \in E} x_{e}y_{e} ⟨ x , y ⟩ = e ∈ E ∑ x e y e です． この内積から定まるノルムを
∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩ \norm{x}
=
\sqrt{\inner{x}{x}} ∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩ と書きます．
定義3.1．
フルランク格子 Λ ⊆ R n \Lat \subseteq \R^{n} Λ ⊆ R n 双対格子 (dual lattice ) を
Λ ∗ ≔ { y ∈ R n : ⟨ x , y ⟩ ∈ Z for all x ∈ Λ } \Lat^{\ast}
\coloneqq
\{ y \in \R^{n}: \inner{x}{y} \in \Z \text{ for all } x \in \Lat \} Λ ∗ : = { y ∈ R n : ⟨ x , y ⟩ ∈ Z for all x ∈ Λ } で定める．
符号の双対では，内積が F p \F_{p} F p 0 0 0 p p p exp ( 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ ) \exp(2\pi\iu\inner{x}{y}) exp ( 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ ) λ ∈ Λ \lambda \in \Lat λ ∈ Λ
exp ( 2 π − 1 ⟨ λ , y ⟩ ) = 1 \exp(2\pi\iu\inner{\lambda}{y})=1 exp ( 2 π − 1 ⟨ λ , y ⟩ ) = 1 であり，これは ⟨ λ , y ⟩ ∈ Z \inner{\lambda}{y} \in \Z ⟨ λ , y ⟩ ∈ Z
例3.2．
Z n \Z^{n} Z n Z n \Z^{n} Z n y ∈ R n y \in \R^{n} y ∈ R n x ∈ Z n x \in \Z^{n} x ∈ Z n e i \bm{e}_{i} e i
⟨ e i , y ⟩ = y i ∈ Z \inner{\bm{e}_{i}}{y} = y_{i} \in \Z ⟨ e i , y ⟩ = y i ∈ Z であることと同値である．
例3.3．
一次元格子 α Z ⊆ R \alpha\Z \subseteq \R α Z ⊆ R
( α Z ) ∗ = α − 1 Z (\alpha\Z)^{\ast} = \alpha^{-1}\Z ( α Z ) ∗ = α − 1 Z である． 実際，y ∈ R y \in \R y ∈ R α m \alpha m α m m ∈ Z m \in \Z m ∈ Z α y ∈ Z \alpha y \in \Z α y ∈ Z
双対格子と余体積には，次の関係があります．
命題3.4．
フルランク格子 Λ ⊆ R n \Lat \subseteq \R^{n} Λ ⊆ R n
vol ( R n / Λ ∗ ) = vol ( R n / Λ ) − 1 \vol(\R^{n}/\Lat^{\ast})
=
\vol(\R^{n}/\Lat)^{-1} vol ( R n / Λ ∗ ) = vol ( R n /Λ ) − 1 が成り立つ．
証明 Λ \Lat Λ b 1 , … , b n b_{1}, \dots, b_{n} b 1 , … , b n B B B Λ = B Z n \Lat = B\Z^{n} Λ = B Z n y ∈ Λ ∗ y \in \Lat^{\ast} y ∈ Λ ∗ m ∈ Z n m \in \Z^{n} m ∈ Z n
⟨ B m , y ⟩ = m ⊤ B ⊤ y ∈ Z \inner{Bm}{y} = m^{\top}B^{\top} y \in \Z ⟨ B m , y ⟩ = m ⊤ B ⊤ y ∈ Z であることと同値である． これは B ⊤ y ∈ Z n B^{\top}y \in \Z^{n} B ⊤ y ∈ Z n
Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n \Lat^{\ast} = (B^{\top})^{-1}\Z^{n} Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n となる． これは行列計算だけでなく，基底と双対基底の対応を表している． 実際，( B ⊤ ) − 1 (B^{\top})^{-1} ( B ⊤ ) − 1 b 1 ∗ , … , b n ∗ b_{1}^{\ast}, \dots, b_{n}^{\ast} b 1 ∗ , … , b n ∗ b 1 , … , b n b_{1}, \dots, b_{n} b 1 , … , b n
⟨ b i , b j ∗ ⟩ = δ i j \inner{b_{i}}{b_{j}^{\ast}} = \delta_{ij} ⟨ b i , b j ∗ ⟩ = δ ij を満たす． ここで δ i j \delta_{ij} δ ij i = j i = j i = j 1 1 1 0 0 0 ( B ⊤ ) − 1 Z n (B^{\top})^{-1}\Z^{n} ( B ⊤ ) − 1 Z n
vol ( R n / Λ ∗ ) = ∣ det ( ( B ⊤ ) − 1 ) ∣ = ∣ det B ∣ − 1 = vol ( R n / Λ ) − 1 \vol(\R^{n}/\Lat^{\ast})
=
\abs{\det((B^{\top})^{-1})}
=
\abs{\det B}^{-1}
=
\vol(\R^{n}/\Lat)^{-1} vol ( R n / Λ ∗ ) = det (( B ⊤ ) − 1 ) = ∣ det B ∣ − 1 = vol ( R n /Λ ) − 1 となる．
証明終わり □
双対格子は，Poisson和公式の右辺に現れます． 今回のMacWilliams恒等式の証明では，
符号の双対性が格子の双対性に変わり，Poisson和公式が格子と双対格子の和を結ぶ
という流れになります．
§4 構成法A：符号から格子を作る ここから符号理論に戻ります． 本稿の本文では p p p F p = Z / p Z \F_{p} = \Z/p\Z F p = Z / p Z E E E n ≔ # E n \coloneqq \card{E} n : = # E a / p a/\sqrt{p} a / p F p \F_{p} F p a a a 0 , 1 , … , p − 1 0, 1, \dots, p - 1 0 , 1 , … , p − 1
自然な剰余写像
ρ : Z E → F p E , x ↦ x m o d p \rho \colon \Z^{E} \to \F_{p}^{E},
\qquad
x \mapsto x\bmod p ρ : Z E → F p E , x ↦ x mod p を考えます． p p p C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E
L ( C ) ≔ ρ − 1 ( C ) = { m ∈ Z E : m m o d p ∈ C } L(C)
\coloneqq
\rho^{-1}(C)
=
\{ m \in \Z^{E} : m \bmod{p} \in C \} L ( C ) : = ρ − 1 ( C ) = { m ∈ Z E : m mod p ∈ C } を考えます．これは Z E \Z^{E} Z E L ( C ) L(C) L ( C ) Z E \Z^E Z E
p Z E ⊆ L ( C ) ⊆ Z E p\Z^{E} \subseteq L(C) \subseteq \Z^{E} p Z E ⊆ L ( C ) ⊆ Z E なので，商群 Z E / L ( C ) \Z^{E}/L(C) Z E / L ( C ) L ( C ) L(C) L ( C ) Z E \Z^{E} Z E Z E \Z^{E} Z E n n n L ( C ) L(C) L ( C ) n n n R E \R^{E} R E L ( C ) L(C) L ( C ) C C C Z E \Z^E Z E L ( C ) L(C) L ( C ) 1 / p 1/\sqrt{p} 1/ p
定義4.1（構成法A）．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E p p p C C C 構成法A格子 (Construction A lattice ) を
Λ ( C ) ≔ 1 p L ( C ) = { m p ∈ R E : m ∈ Z E , m m o d p ∈ C } \Lat(C)
\coloneqq
\frac{1}{\sqrt{p}}L(C)
=
\left\{
\frac{m}{\sqrt{p}} \in \R^{E} : m \in \Z^{E},\, m \bmod{p} \in C
\right\} Λ ( C ) : = p 1 L ( C ) = { p m ∈ R E : m ∈ Z E , m mod p ∈ C } で定める．
L ( C ) L(C) L ( C ) Λ ( C ) \Lat(C) Λ ( C ) L ( C ) L(C) L ( C ) C C C Z E \Z^E Z E
Λ ( C ) = p − 1 / 2 L ( C ) \Lat(C) = p^{-1/2}L(C) Λ ( C ) = p − 1/2 L ( C ) は，それを双対性に適するよう正規化した構成法A格子です． 本稿でいう格子は，ユークリッド空間の離散的な点集合であり，各座標が整数である必要はありません． したがって，一般の C C C Λ ( C ) \Lat(C) Λ ( C ) Z E \Z^E Z E 整格子 （integral lattice ）というと，任意の二つの格子点の内積が整数になる格子， すなわち Λ ⊆ Λ ∗ \Lat\subseteq\Lat^\ast Λ ⊆ Λ ∗ Z E \Z^E Z E p − 1 / 2 p^{-1/2} p − 1/2
Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) という非常にきれいな形になることです． もし 1 / p 1/\sqrt{p} 1/ p ( 1 / p ) L ( C ⊥ ) (1/p)L(C^{\perp}) ( 1/ p ) L ( C ⊥ )
例4.2（二つの端の例）．
C = { 0 } ≤ F p n C = \{ 0 \} \leq \F_{p}^{n} C = { 0 } ≤ F p n
L ( C ) = p Z n , Λ ( C ) = p Z n L(C) = p\Z^{n},
\qquad
\Lat(C) = \sqrt{p}\,\Z^{n} L ( C ) = p Z n , Λ ( C ) = p Z n である．一方，C = F p n C = \F_{p}^{n} C = F p n
L ( C ) = Z n , Λ ( C ) = 1 p Z n L(C) = \Z^{n},
\qquad
\Lat(C) = \frac{1}{\sqrt{p}}\Z^{n} L ( C ) = Z n , Λ ( C ) = p 1 Z n である．この二つの格子は互いに双対であり，余体積はそれぞれ
p n / 2 , p − n / 2 p^{n/2},
\qquad
p^{-n/2} p n /2 , p − n /2 である．
例4.3（二元長さ二の反復符号）．
p = 2 p = 2 p = 2
C = { 00 , 11 } ≤ F 2 2 C = \{00,11\}\leq\F_{2}^{2} C = { 00 , 11 } ≤ F 2 2 を考える．このとき
L ( C ) = Z ( 1 , 1 ) + Z ( 1 , − 1 ) L(C)
=
\Z(1,1)+\Z(1,-1) L ( C ) = Z ( 1 , 1 ) + Z ( 1 , − 1 ) である．したがって Λ ( C ) = 2 − 1 / 2 L ( C ) \Lat(C)=2^{-1/2}L(C) Λ ( C ) = 2 − 1/2 L ( C )
1 2 ( 1 , 1 ) , 1 2 ( 1 , − 1 ) \frac{1}{\sqrt2}(1,1),
\qquad
\frac{1}{\sqrt2}(1,-1) 2 1 ( 1 , 1 ) , 2 1 ( 1 , − 1 ) を正規直交基底に持つ． つまり Λ ( C ) \Lat(C) Λ ( C ) Z 2 \Z^2 Z 2 1 1 1 C = C ⊥ C = C^\perp C = C ⊥
まず余体積を計算します．
命題4.4．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E k k k F p \F_{p} F p
vol ( R E / Λ ( C ) ) = p n / 2 − k \vol(\R^{E}/\Lat(C))
=
p^{n/2-k} vol ( R E /Λ ( C )) = p n /2 − k が成り立つ．
証明 次に，最も重要な双対性を確認します． ここで，任意のフルランク格子 L L L α ∈ R ∖ { 0 } \alpha\in\R\setminus\{0\} α ∈ R ∖ { 0 }
( α L ) ∗ = α − 1 L ∗ (\alpha L)^\ast=\alpha^{-1}L^\ast ( α L ) ∗ = α − 1 L ∗ であることを使います． 実際，y ∈ ( α L ) ∗ y\in(\alpha L)^\ast y ∈ ( α L ) ∗ x ∈ L x\in L x ∈ L ⟨ α x , y ⟩ ∈ Z \inner{\alpha x}{y} \in \Z ⟨ α x , y ⟩ ∈ Z ⟨ x , α y ⟩ ∈ Z \inner{x}{\alpha y} \in \Z ⟨ x , α y ⟩ ∈ Z
定理4.5（構成法Aと双対）．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E
Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast}
=
\Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) が成り立つ．
証明 まず L ( C ) = ρ − 1 ( C ) L(C) = \rho^{-1}(C) L ( C ) = ρ − 1 ( C ) Λ ( C ) = p − 1 / 2 L ( C ) \Lat(C) = p^{-1/2}L(C) Λ ( C ) = p − 1/2 L ( C )
Λ ( C ) ∗ = p 1 / 2 L ( C ) ∗ \Lat(C)^{\ast}
= p^{1/2}L(C)^{\ast} Λ ( C ) ∗ = p 1/2 L ( C ) ∗ である． したがって，L ( C ) ∗ = p − 1 L ( C ⊥ ) L(C)^{\ast} = p^{-1}L(C^{\perp}) L ( C ) ∗ = p − 1 L ( C ⊥ )
y ∈ L ( C ) ∗ y \in L(C)^{\ast} y ∈ L ( C ) ∗ p e j p\bm{e}_{j} p e j e j \bm{e}_{j} e j j ∈ E j \in E j ∈ E L ( C ) L(C) L ( C )
⟨ y , p e j ⟩ ∈ Z \inner{y}{p \bm{e}_{j}} \in \Z ⟨ y , p e j ⟩ ∈ Z である．したがって，すべての座標について p y j ∈ Z p y_{j} \in \Z p y j ∈ Z z ∈ Z E z \in \Z^{E} z ∈ Z E y = z p y = \frac{z}{p} y = p z
さらに，任意の m ∈ L ( C ) m \in L(C) m ∈ L ( C )
⟨ y , m ⟩ = 1 p ∑ e ∈ E z e m e ∈ Z \inner{y}{m}
=
\frac{1}{p}\sum_{e \in E} z_{e}m_{e}
\in\Z ⟨ y , m ⟩ = p 1 e ∈ E ∑ z e m e ∈ Z である．これは
∑ e ∈ E ( z e m o d p ) ( m e m o d p ) = 0 in F p \sum_{e \in E}(z_{e} \bmod{p})(m_{e} \bmod{p}) = 0
\quad\text{in } \F_{p} e ∈ E ∑ ( z e mod p ) ( m e mod p ) = 0 in F p を意味する． m m o d p m \bmod{p} m mod p C C C z m o d p ∈ C ⊥ z \bmod{p} \in C^{\perp} z mod p ∈ C ⊥ z ∈ L ( C ⊥ ) z \in L(C^{\perp}) z ∈ L ( C ⊥ ) y ∈ p − 1 L ( C ⊥ ) y \in p^{-1}L(C^{\perp}) y ∈ p − 1 L ( C ⊥ )
逆に，z ∈ L ( C ⊥ ) z \in L(C^{\perp}) z ∈ L ( C ⊥ ) y = z / p y = z/p y = z / p m ∈ L ( C ) m \in L(C) m ∈ L ( C ) z m o d p ∈ C ⊥ z \bmod{p} \in C^{\perp} z mod p ∈ C ⊥ m m o d p ∈ C m \bmod{p} \in C m mod p ∈ C
∑ e ∈ E z e m e ≡ 0 ( m o d p ) \sum_{e \in E} z_{e}m_{e} \equiv 0 \pmod{p} e ∈ E ∑ z e m e ≡ 0 ( mod p ) である．したがって
⟨ y , m ⟩ = 1 p ∑ e ∈ E z e m e ∈ Z \inner{y}{m}
=
\frac{1}{p}\sum_{e \in E} z_{e}m_{e}
\in \Z ⟨ y , m ⟩ = p 1 e ∈ E ∑ z e m e ∈ Z であり，y ∈ L ( C ) ∗ y \in L(C)^{\ast} y ∈ L ( C ) ∗
L ( C ) ∗ = p − 1 L ( C ⊥ ) L(C)^{\ast} = p^{-1}L(C^{\perp}) L ( C ) ∗ = p − 1 L ( C ⊥ ) が示された． これに p 1 / 2 p^{1/2} p 1/2
Λ ( C ) ∗ = p 1 / 2 p − 1 L ( C ⊥ ) = p − 1 / 2 L ( C ⊥ ) = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast}
=
p^{1/2}p^{-1}L(C^{\perp})
=
p^{-1/2}L(C^{\perp})
=
\Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = p 1/2 p − 1 L ( C ⊥ ) = p − 1/2 L ( C ⊥ ) = Λ ( C ⊥ ) を得る．
証明終わり □
この定理が，構成法Aを使う理由です． 符号の双対性 C ↔ C ⊥ C \leftrightarrow C^{\perp} C ↔ C ⊥ Λ ( C ) ↔ Λ ( C ) ∗ \Lat(C) \leftrightarrow \Lat(C)^{\ast} Λ ( C ) ↔ Λ ( C ) ∗
この定理から，自己直交性・自己双対性も格子側に翻訳できます． 構成法A格子の包含関係は元の符号の包含関係に対応するので，
C ⊆ C ⊥ ⟺ Λ ( C ) ⊆ Λ ( C ) ∗ C \subseteq C^{\perp}
\iff
\Lat(C) \subseteq \Lat(C)^{\ast} C ⊆ C ⊥ ⟺ Λ ( C ) ⊆ Λ ( C ) ∗ です． 実際，構成法Aでは C ⊆ D C \subseteq D C ⊆ D Λ ( C ) ⊆ Λ ( D ) \Lat(C) \subseteq \Lat(D) Λ ( C ) ⊆ Λ ( D ) c ∈ C c\in C c ∈ C m ∈ Z E m \in \Z^{E} m ∈ Z E m / p ∈ Λ ( C ) ⊆ Λ ( D ) m/\sqrt{p} \in \Lat(C) \subseteq \Lat(D) m / p ∈ Λ ( C ) ⊆ Λ ( D ) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ )
C = C ⊥ ⟺ Λ ( C ) = Λ ( C ) ∗ C = C^{\perp}
\iff
\Lat(C) = \Lat(C)^{\ast} C = C ⊥ ⟺ Λ ( C ) = Λ ( C ) ∗ です．
§5 Fourier変換とPoisson和公式の要約 ここでは，後で使う解析的事実について， 採用するFourier変換の規約を明示した上で，定義と定理文だけをまとめます． 詳細な証明は 付録：Fourier変換とPoisson和公式の証明 に回します． 主線では，この節の内容を標準事実として認めれば十分です．
多重指数
α = ( α 1 , … , α n ) ∈ Z ≥ 0 n \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\Z_{\geq0}^{n} α = ( α 1 , … , α n ) ∈ Z ≥ 0 n に対して
∣ α ∣ 1 ≔ α 1 + ⋯ + α n , x α ≔ x 1 α 1 ⋯ x n α n , ∂ α ≔ ∂ ∣ α ∣ 1 ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n \lvert\alpha\rvert_1
\coloneqq
\alpha_1+\cdots+\alpha_n,
\qquad
x^\alpha
\coloneqq
x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n},
\qquad
\partial^\alpha
\coloneqq
\frac{\partial^{\lvert\alpha\rvert_1}}
{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}} ∣ α ∣ 1 : = α 1 + ⋯ + α n , x α : = x 1 α 1 ⋯ x n α n , ∂ α : = ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n ∂ ∣ α ∣ 1 と書きます． ここで ∣ α ∣ 1 \lvert\alpha\rvert_1 ∣ α ∣ 1 α \alpha α α 1 + ⋯ + α n \alpha_1+\cdots+\alpha_n α 1 + ⋯ + α n ∣ ⋅ ∣ \abs{\cdot} ∣ ⋅ ∣
定義5.1．
滑らかな関数 f : R n → C f\colon\R^n\to\C f : R n → C Schwartz関数 であるとは，任意の多重指数 α , β ∈ Z ≥ 0 n \alpha,\beta\in\Z_{\geq0}^{n} α , β ∈ Z ≥ 0 n
sup x ∈ R n ∣ x α ∂ β f ( x ) ∣ < ∞ \sup_{x\in\R^n}
\abs{x^\alpha\partial^\beta f(x)}
<\infty x ∈ R n sup x α ∂ β f ( x ) < ∞ が成り立つことをいう．
これは，f f f 0 0 0 N N N β \beta β
∣ ∂ β f ( x ) ∣ ≤ A N , β ( 1 + ∥ x ∥ ) − N \abs{\partial^\beta f(x)}
\leq
A_{N,\beta}(1+\norm{x})^{-N} ∂ β f ( x ) ≤ A N , β ( 1 + ∥ x ∥ ) − N となる定数 A N , β A_{N,\beta} A N , β C N > 0 C_N>0 C N > 0
( 1 + ∥ x ∥ ) N ≤ C N ∑ ∣ α ∣ 1 ≤ N ∣ x α ∣ (1+\norm{x})^N
\leq
C_N\sum_{\lvert\alpha\rvert_1\leq N}\abs{x^\alpha} ( 1 + ∥ x ∥ ) N ≤ C N ∣ α ∣ 1 ≤ N ∑ ∣ x α ∣ と有限個の単項式で評価できることから従います． 特に N > n N>n N > n f f f
f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 ( t > 0 ) f_{t}(x) = \e^{-\pi t\norm{x}^{2}}
\qquad(t > 0) f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 ( t > 0 ) です．
ここでは，指数に 2 π 2\pi 2 π
次が今回の中心となるPoisson和公式です．
定理5.5（Poisson和公式）．
Λ ⊆ R n \Lat\subseteq\R^{n} Λ ⊆ R n f : R n → C f\colon\R^{n}\to\C f : R n → C
∑ x ∈ Λ f ( x ) = 1 vol ( R n / Λ ) ∑ y ∈ Λ ∗ f ^ ( y ) (5.1) \sum_{x\in\Lat}f(x)
=
\frac{1}{\vol(\R^{n}/\Lat)}
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}\what{f}(y)
\tag{5.1} x ∈ Λ ∑ f ( x ) = vol ( R n /Λ ) 1 y ∈ Λ ∗ ∑ f ( y ) ( 5.1 ) が成り立つ．
この公式は，格子上の和を双対格子上の和へ変換します． 右辺に余体積の逆数が現れるのは，格子の密度の違いを補正していると見られます． 例えば Λ = Z n \Lat=\Z^{n} Λ = Z n Λ ∗ = Z n \Lat^{\ast}=\Z^{n} Λ ∗ = Z n 1 1 1
∑ m ∈ Z n f ( m ) = ∑ m ∈ Z n f ^ ( m ) \sum_{m\in\Z^{n}}f(m)
=
\sum_{m\in\Z^{n}}\what{f}(m) m ∈ Z n ∑ f ( m ) = m ∈ Z n ∑ f ( m ) という形になります．
後で一座標の剰余類和に使うため，平行移動された一次元格子に対する形も書いておきます．
系5.6（平行移動版Poisson和公式）．
f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C h > 0 h > 0 h > 0 x 0 ∈ R x_{0} \in \R x 0 ∈ R
∑ r ∈ Z f ( x 0 + r h ) = 1 h ∑ s ∈ Z exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ^ ( s / h ) (5.2) \sum_{r \in \Z} f(x_{0} + rh)
=
\frac{1}{h}
\sum_{s \in \Z}
\exp(2\pi\iu\,s x_{0}/h)\,
\what{f}(s/h)
\tag{5.2} r ∈ Z ∑ f ( x 0 + r h ) = h 1 s ∈ Z ∑ exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ( s / h ) ( 5.2 ) が成り立つ．
Poisson和公式は，この回の基礎となる原理です． 有限アーベル群上のMacWilliams恒等式を「有限Poisson和公式」と見ることができますが， 本稿ではユークリッド空間上のPoisson和公式を使います． このため，今回の証明は同じFourier・指標・Poisson系に属していても， 連続解析と格子の言葉で書かれます．
§6 格子テータ関数 Poisson和公式にガウス関数を代入すると，格子テータ関数の変換公式が得られます． これは，格子とテータ関数がMacWilliams恒等式の証明に現れる一つの理由です． ここからはPoisson和公式を道具として認め，符号と格子の主線に戻ります．
定義6.1．
フルランク格子 Λ ⊆ R n \Lat \subseteq \R^{n} Λ ⊆ R n テータ関数 (theta function ) またはテータ級数 (theta series ) を
Θ Λ ( t ) ≔ ∑ x ∈ Λ e − π t ∥ x ∥ 2 ( t > 0 ) \Theta_{\Lat}(t)
\coloneqq
\sum_{x \in \Lat} \e^{-\pi t\norm{x}^{2}}
\qquad(t > 0) Θ Λ ( t ) : = x ∈ Λ ∑ e − π t ∥ x ∥ 2 ( t > 0 ) で定める．
テータ級数は，ガウス関数を格子点上で足し上げた和であり，絶対収束します． これは，格子点の長さの二乗の離散分布を記録するLaplace型の母関数です． 短いベクトルほど大きく寄与し，長いベクトルほど小さく寄与します． 一般のユークリッド格子では ∥ x ∥ 2 \norm{x}^{2} ∥ x ∥ 2
R Λ ≔ { ∥ x ∥ 2 : x ∈ Λ } \mathcal R_{\Lat}
\coloneqq
\{ \norm{x}^{2}:x\in\Lat\} R Λ : = { ∥ x ∥ 2 : x ∈ Λ } とおき，s ∈ R Λ s\in\mathcal R_{\Lat} s ∈ R Λ
N Λ ( s ) ≔ # { x ∈ Λ : ∥ x ∥ 2 = s } N_{\Lat}(s)
\coloneqq
\card{\{ x \in \Lat: \norm{x}^{2} = s \}} N Λ ( s ) : = # { x ∈ Λ : ∥ x ∥ 2 = s } と定めます． ユークリッド空間の格子 で確認した局所有限性により，有界な球内の格子点は有限個であり，各 N Λ ( s ) N_{\Lat}(s) N Λ ( s )
Θ Λ ( t ) = ∑ s ∈ R Λ N Λ ( s ) e − π t s \Theta_{\Lat}(t)
=
\sum_{s\in\mathcal R_{\Lat}} N_{\Lat}(s) \e^{-\pi ts} Θ Λ ( t ) = s ∈ R Λ ∑ N Λ ( s ) e − π t s と書けます． つまり，テータ関数は格子点の長さの二乗の分布をまとめたものです． 標準的な文献では，上半平面
{ τ ∈ C : Im τ > 0 } \{ \tau \in \C :\Im \tau > 0 \} { τ ∈ C : Im τ > 0 } 上の複素変数 τ \tau τ
∑ x ∈ Λ exp ( π − 1 τ ∥ x ∥ 2 ) \sum_{x \in \Lat} \exp(\pi\iu\tau\norm{x}^{2}) x ∈ Λ ∑ exp ( π − 1 τ ∥ x ∥ 2 ) の形で書くことが多いです． 本稿の t > 0 t > 0 t > 0 τ = − 1 t \tau=\iu t τ = − 1 t t t t t t t Λ \Lat Λ t t t Λ ∗ \Lat^{\ast} Λ ∗ 1 / t 1/t 1/ t
例6.2（標準整数格子のテータ関数）．
一次元の標準整数格子 Z \Z Z
Θ Z ( t ) = ∑ m ∈ Z e − π t m 2 = 1 + 2 e − π t + 2 e − 4 π t + 2 e − 9 π t + ⋯ \Theta_{\Z}(t)
=
\sum_{m\in\Z}\e^{-\pi t m^{2}}
=
1+2\e^{-\pi t}+2\e^{-4\pi t}+2\e^{-9\pi t}+\cdots Θ Z ( t ) = m ∈ Z ∑ e − π t m 2 = 1 + 2 e − π t + 2 e − 4 π t + 2 e − 9 π t + ⋯ である． 係数 2 2 2 m m m − m -m − m Z n \Z^{n} Z n
Θ Z n ( t ) = ( ∑ m ∈ Z e − π t m 2 ) n \Theta_{\Z^{n}}(t)
=
\left(\sum_{m \in \Z} \e^{-\pi t m^{2}}\right)^{n} Θ Z n ( t ) = ( m ∈ Z ∑ e − π t m 2 ) n となる．
Poisson和公式から，テータ関数の基本的な変換公式が得られます．
証明 Poisson和公式 ∑ x ∈ Λ f ( x ) = 1 vol ( R n / Λ ) ∑ y ∈ Λ ∗ f ^ ( y ) (5.1) \sum_{x\in\Lat}f(x)
=
\frac{1}{\vol(\R^{n}/\Lat)}
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}\what{f}(y)
\tag{5.1} x ∈ Λ ∑ f ( x ) = vol ( R n /Λ ) 1 y ∈ Λ ∗ ∑ f ( y ) ( 5.1 )
f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f_{t}(x) = \e^{-\pi t\norm{x}^{2}} f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 を代入する． 定理5.3（ガウス関数のFourier変換）． t > 0 t > 0 t > 0 f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f_{t}(x)=\e^{-\pi t\norm{x}^{2}} f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f t ^ ( y ) = t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t \what{f_t}(y)
=
t^{-n/2}\e^{-\pi \norm{y}^{2}/t} f t ( y ) = t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t が成り立つ．
f t ^ ( y ) = t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t \what{f_t}(y) = t^{-n/2}\e^{-\pi\norm{y}^{2}/t} f t ( y ) = t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t である．したがって
Θ Λ ( t ) = ∑ x ∈ Λ e − π t ∥ x ∥ 2 = 1 vol ( R n / Λ ) ∑ y ∈ Λ ∗ t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t = 1 vol ( R n / Λ ) t − n / 2 Θ Λ ∗ ( 1 / t ) . \begin{aligned}
\Theta_{\Lat}(t)
&=
\sum_{x \in \Lat} \e^{-\pi t\norm{x}^{2}} \\
&=
\frac{1}{\vol(\R^{n}/\Lat)}
\sum_{y \in \Lat^{\ast}} t^{-n/2}\e^{-\pi\norm{y}^{2}/t} \\
&=
\frac{1}{\vol(\R^{n}/\Lat)}
t^{-n/2}\Theta_{\Lat^{\ast}}(1/t).
\end{aligned} Θ Λ ( t ) = x ∈ Λ ∑ e − π t ∥ x ∥ 2 = vol ( R n /Λ ) 1 y ∈ Λ ∗ ∑ t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t = vol ( R n /Λ ) 1 t − n /2 Θ Λ ∗ ( 1/ t ) . 証明終わり □
この定理は，テータ関数の世界での「双対性」です． 格子 Λ \Lat Λ t t t Λ ∗ \Lat^{\ast} Λ ∗ 1 / t 1/t 1/ t Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ )
§7 完全重み多項式 構成法A格子のテータ関数は，符号の完全重み多項式と自然に結び付きます． 通常のHamming重み多項式は，座標値が 0 0 0
定義7.1．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E a ∈ F p a \in\F_{p} a ∈ F p T a T_{a} T a C C C 完全重み多項式 (complete weight enumerator ) を
cwe C ( ( T a ) a ∈ F p ) ≔ ∑ c ∈ C ∏ e ∈ E T c e \cwe_{C}\bigl( (T_{a})_{a \in \F_{p}} \bigr)
\coloneqq
\sum_{c \in C} \prod_{e \in E} T_{c_{e}} cwe C ( ( T a ) a ∈ F p ) : = c ∈ C ∑ e ∈ E ∏ T c e で定める．
通常のHamming重み多項式は，完全重み多項式の特殊化です． 実際，
T 0 = X , T a = Y ( a ≠ 0 ) T_{0} = X,
\qquad
T_{a} = Y \quad(a \neq 0) T 0 = X , T a = Y ( a = 0 ) とおけば
cwe C ( ( T a ) a ∈ F p ) = W C ( X , Y ) \cwe_{C}\bigl((T_{a})_{a \in \F_{p}} \bigr)
=
W_{C}(X,Y) cwe C ( ( T a ) a ∈ F p ) = W C ( X , Y ) になります． 完全重み多項式の各項は，座標集合 E E E n n n
完全重み多項式が出る理由について見ていきます． 構成法A格子の点は x = m / p x=m/\sqrt p x = m / p x e x_e x e m e m_e m e m e ≡ a ( m o d p ) m_e \equiv a \pmod p m e ≡ a ( mod p ) a + p Z a+p\Z a + p Z a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
この点を，任意の一変数Schwartz関数を使って定式化します． f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
S a ( f ) ≔ ∑ m ≡ a ( m o d p ) f ( m p ) (7.1) S_{a}(f)
\coloneqq
\sum_{m \equiv a \pmod{p}} f\left(\frac{m}{\sqrt{p}}\right)
\tag{7.1} S a ( f ) : = m ≡ a ( mod p ) ∑ f ( p m ) ( 7.1 ) と定めます．ここで S S S
a p + p Z \frac{a}{\sqrt p}+\sqrt p\,\Z p a + p Z であり，格子 p Z \sqrt p\,\Z p Z R E \R^{E} R E
f E ( x ) ≔ ∏ e ∈ E f ( x e ) f_{E}(x)
\coloneqq
\prod_{e \in E} f(x_{e}) f E ( x ) : = e ∈ E ∏ f ( x e ) を考えます．
命題7.2．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C R E \R^E R E
f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_E(x)=\prod_{e\in E}f(x_e) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) を考える． このとき
∑ x ∈ Λ ( C ) f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) (7.2) \sum_{x \in \Lat(C)} f_{E}(x)
=
\cwe_{C}\bigl((S_{a}(f))_{a \in \F_{p}}\bigr)
\tag{7.2} x ∈ Λ ( C ) ∑ f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) ( 7.2 ) が成り立つ．
証明 Λ ( C ) \Lat(C) Λ ( C ) x = m p x = \frac{m}{\sqrt p} x = p m m ∈ Z E m \in \Z^{E} m ∈ Z E m m o d p ∈ C m \bmod{p} \in C m mod p ∈ C
∑ m ∈ Z E ∏ e ∈ E ∣ f ( m e p ) ∣ = ( ∑ r ∈ Z ∣ f ( r p ) ∣ ) n < ∞ \sum_{m\in\Z^E}
\prod_{e\in E}
\left|
f\left(\frac{m_e}{\sqrt p}\right)
\right|
=
\left(
\sum_{r\in\Z}
\left|
f\left(\frac r{\sqrt p}\right)
\right|
\right)^n
<\infty m ∈ Z E ∑ e ∈ E ∏ f ( p m e ) = ( r ∈ Z ∑ f ( p r ) ) n < ∞ である．右辺が有限なのは，Schwartz関数の急減少性による． この絶対収束により，以下の和の並べ替えと座標ごとの積への分解は Tonelliの定理により正当化される． 剰余類 c = m m o d p ∈ C c = m \bmod{p} \in C c = m mod p ∈ C
∑ x ∈ Λ ( C ) f E ( x ) = ∑ c ∈ C ∑ m ∈ Z E m ≡ c ( m o d p ) ∏ e ∈ E f ( m e p ) = ∑ c ∈ C ∏ e ∈ E ∑ m e ≡ c e ( m o d p ) f ( m e p ) = ∑ c ∈ C ∏ e ∈ E S c e ( f ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) . \begin{aligned}
\sum_{x \in \Lat(C)} f_{E}(x)
&=
\sum_{c \in C}
\sum_{\substack{m \in \Z^{E}\\ m \equiv c \pmod{p}}}
\prod_{e \in E} f\left(\frac{m_{e}}{\sqrt{p}}\right) \\
&=
\sum_{c \in C}
\prod_{e \in E}
\sum_{m_{e} \equiv c_{e}\, \pmod{p}}
f\left(\frac{m_{e}}{\sqrt{p}}\right) \\
&=
\sum_{c \in C} \prod_{e \in E} S_{c_{e}}(f) \\
&=
\cwe_{C}\bigl((S_{a}(f))_{a \in \F_{p}}\bigr).
\end{aligned} x ∈ Λ ( C ) ∑ f E ( x ) = c ∈ C ∑ m ∈ Z E m ≡ c ( mod p ) ∑ e ∈ E ∏ f ( p m e ) = c ∈ C ∑ e ∈ E ∏ m e ≡ c e ( mod p ) ∑ f ( p m e ) = c ∈ C ∑ e ∈ E ∏ S c e ( f ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) . 証明終わり □
この命題は，構成法A格子上の和が完全重み多項式として書けることを示しています． 特に f f f
§8 剰余類テータ関数 大文字の Θ Λ \Theta_{\Lat} Θ Λ n n n ϑ a \vartheta_a ϑ a
ガウス関数
g t ( x ) = e − π t x 2 ( t > 0 ) g_{t}(x) = \e^{-\pi t x^{2}}
\qquad(t > 0) g t ( x ) = e − π t x 2 ( t > 0 ) を使うと，剰余類ごとの一座標和はテータ関数になります．
定義8.1．
a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
ϑ a ( t ) ≔ ∑ m ≡ a ( m o d p ) e − π t m 2 / p ( t > 0 ) \vartheta_{a}(t)
\coloneqq
\sum_{m \equiv a \pmod{p}}
\e^{-\pi t m^{2}/p}
\qquad(t > 0) ϑ a ( t ) : = m ≡ a ( mod p ) ∑ e − π t m 2 / p ( t > 0 ) で定める．
同じ和は，格子 p Z \sqrt p\,\Z p Z
ϑ a ( t ) = ∑ r ∈ Z exp ( − π t ( a p + r p ) 2 ) \vartheta_a(t)
=
\sum_{r\in\Z}
\exp\left(
-\pi t
\left(
\frac{a}{\sqrt p}+r\sqrt p
\right)^2
\right) ϑ a ( t ) = r ∈ Z ∑ exp ( − π t ( p a + r p ) 2 ) とも書けます． つまり，ϑ a ( t ) \vartheta_a(t) ϑ a ( t ) p Z \sqrt p\,\Z p Z
p = 2 p=2 p = 2 ϑ 0 ( t ) \vartheta_0(t) ϑ 0 ( t ) ϑ 1 ( t ) \vartheta_1(t) ϑ 1 ( t )
ϑ 0 ( t ) = 1 + 2 e − 2 π t + 2 e − 8 π t + ⋯ , \vartheta_0(t)
=
1+2\e^{-2\pi t}+2\e^{-8\pi t}+\cdots, ϑ 0 ( t ) = 1 + 2 e − 2 π t + 2 e − 8 π t + ⋯ , および
ϑ 1 ( t ) = 2 e − π t / 2 + 2 e − 9 π t / 2 + ⋯ \vartheta_1(t)
=
2\e^{-\pi t/2}
+2\e^{-9\pi t/2}
+\cdots ϑ 1 ( t ) = 2 e − π t /2 + 2 e − 9 π t /2 + ⋯ です． 前者では m = 0 , ± 2 , ± 4 , … m=0,\pm2,\pm4,\dots m = 0 , ± 2 , ± 4 , … m = ± 1 , ± 3 , … m=\pm1,\pm3,\dots m = ± 1 , ± 3 , …
これは
S a ( g t ) = ∑ m ≡ a ( m o d p ) g t ( m / p ) = ϑ a ( t ) S_{a}(g_{t})
=
\sum_{m \equiv a \pmod{p}} g_{t}(m/\sqrt{p})
=
\vartheta_{a}(t) S a ( g t ) = m ≡ a ( mod p ) ∑ g t ( m / p ) = ϑ a ( t ) です．したがって，命題7.2． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C R E \R^E R E f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_E(x)=\prod_{e\in E}f(x_e) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) を考える． このとき
∑ x ∈ Λ ( C ) f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) (7.2) \sum_{x \in \Lat(C)} f_{E}(x)
=
\cwe_{C}\bigl((S_{a}(f))_{a \in \F_{p}}\bigr)
\tag{7.2} x ∈ Λ ( C ) ∑ f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) ( 7.2 ) が成り立つ．
定理8.2．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E t > 0 t>0 t > 0
Θ Λ ( C ) ( t ) = cwe C ( ( ϑ a ( t ) ) a ∈ F p ) (8.1) \Theta_{\Lat(C)}(t)
= \cwe_{C}\bigl((\vartheta_{a}(t))_{a \in \F_{p}}\bigr)
\tag{8.1} Θ Λ ( C ) ( t ) = cwe C ( ( ϑ a ( t ) ) a ∈ F p ) ( 8.1 ) が成り立つ．
証明 格子テータ関数の定義より，
Θ Λ ( C ) ( t ) = ∑ x ∈ Λ ( C ) e − π t ∥ x ∥ 2 . \Theta_{\Lat(C)}(t)
= \sum_{x \in \Lat(C)} \e^{-\pi t\norm{x}^{2}}. Θ Λ ( C ) ( t ) = x ∈ Λ ( C ) ∑ e − π t ∥ x ∥ 2 . ここで g t ( x ) = e − π t x 2 g_{t}(x) = \e^{-\pi t x^{2}} g t ( x ) = e − π t x 2
e − π t ∥ x ∥ 2 = ∏ e ∈ E g t ( x e ) . \e^{-\pi t\norm{x}^{2}}
= \prod_{e \in E} g_{t}(x_{e}). e − π t ∥ x ∥ 2 = e ∈ E ∏ g t ( x e ) . したがって 命題7.2． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C R E \R^E R E f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_E(x)=\prod_{e\in E}f(x_e) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) を考える． このとき
∑ x ∈ Λ ( C ) f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) (7.2) \sum_{x \in \Lat(C)} f_{E}(x)
=
\cwe_{C}\bigl((S_{a}(f))_{a \in \F_{p}}\bigr)
\tag{7.2} x ∈ Λ ( C ) ∑ f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) ( 7.2 ) が成り立つ．
Θ Λ ( C ) ( t ) = cwe C ( ( S a ( g t ) ) a ∈ F p ) = cwe C ( ( ϑ a ( t ) ) a ∈ F p ) \Theta_{\Lat(C)}(t)
=
\cwe_{C}\bigl((S_{a}(g_{t}))_{a \in \F_{p}}\bigr)
=
\cwe_{C}\bigl((\vartheta_{a}(t))_{a \in \F_{p}}\bigr) Θ Λ ( C ) ( t ) = cwe C ( ( S a ( g t ) ) a ∈ F p ) = cwe C ( ( ϑ a ( t ) ) a ∈ F p ) を得る．
証明終わり □
この式は，完全重み多項式に
T a = ϑ a ( t ) T_{a} = \vartheta_{a}(t) T a = ϑ a ( t ) を代入した特殊化です． 一般には，完全重み多項式を通常の一変数格子テータ関数の中へ単射的に埋め込むものではありません． 実際，任意の a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
ϑ a ( t ) = ϑ − a ( t ) \vartheta_{a}(t) = \vartheta_{-a}(t) ϑ a ( t ) = ϑ − a ( t ) が成り立ちます． これは和の添字を m ↦ − m m\mapsto -m m ↦ − m p = 3 p = 3 p = 3 ϑ 1 ( t ) = ϑ 2 ( t ) \vartheta_{1}(t) = \vartheta_{2}(t) ϑ 1 ( t ) = ϑ 2 ( t )
C = { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } ≤ F 3 2 C=\{(0,0),(1,1),(2,2)\}\leq\F_3^2 C = {( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 )} ≤ F 3 2 を考えると，双対符号は
C ⊥ = { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } C^\perp=\{(0,0),(1,2),(2,1)\} C ⊥ = {( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 )} です． 完全重み多項式は
cwe C = T 0 2 + T 1 2 + T 2 2 , cwe C ⊥ = T 0 2 + 2 T 1 T 2 \cwe_C=T_0^2+T_1^2+T_2^2,
\qquad
\cwe_{C^\perp}=T_0^2+2T_1T_2 cwe C = T 0 2 + T 1 2 + T 2 2 , cwe C ⊥ = T 0 2 + 2 T 1 T 2 であり，この二つは異なります． しかし ϑ 1 ( t ) = ϑ 2 ( t ) \vartheta_1(t)=\vartheta_2(t) ϑ 1 ( t ) = ϑ 2 ( t )
ϑ 0 ( t ) 2 + 2 ϑ 1 ( t ) 2 \vartheta_0(t)^2+2\vartheta_1(t)^2 ϑ 0 ( t ) 2 + 2 ϑ 1 ( t ) 2 になります． この例は，ガウス関数による通常の一変数格子テータ関数が，記号 1 1 1 2 = − 1 2=-1 2 = − 1 p p p [Nis01] にも見られます． 本稿では，この形式変数への移行を， 任意の評価点を実現するSchwartz関数の構成として具体化します． したがって，ガウス関数による格子テータ関数の変換公式は， 後で示す完全重み多項式版MacWilliams恒等式の特殊化と見るのが正確です．
また，定理6.3（格子テータ関数の変換公式）． Λ ⊆ R n \Lat \subseteq \R^{n} Λ ⊆ R n t > 0 t > 0 t > 0 Θ Λ ( t ) = 1 vol ( R n / Λ ) t − n / 2 Θ Λ ∗ ( 1 / t ) (6.1) \Theta_{\Lat}(t)
=
\frac{1}{\vol(\R^{n}/\Lat)}
t^{-n/2}\Theta_{\Lat^{\ast}}(1/t)
\tag{6.1} Θ Λ ( t ) = vol ( R n /Λ ) 1 t − n /2 Θ Λ ∗ ( 1/ t ) ( 6.1 ) が成り立つ． 定理4.5（構成法Aと双対）． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast}
=
\Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) が成り立つ． 命題4.4． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E k k k F p \F_{p} F p vol ( R E / Λ ( C ) ) = p n / 2 − k \vol(\R^{E}/\Lat(C))
=
p^{n/2-k} vol ( R E /Λ ( C )) = p n /2 − k が成り立つ． k ≔ dim F p C k \coloneqq \dim_{\F_{p}} C k : = dim F p C
を満たします．これはテータ関数の変換公式そのものです．
一座標の剰余類テータ関数にも，同じ変換が見えます． ここで，以後
ψ ( a ) = exp ( 2 π − 1 a / p ) \psi(a) = \exp(2\pi\iu a/p) ψ ( a ) = exp ( 2 π − 1 a / p ) とおきます． 指数関数に入る a a a 0 , 1 , … , p − 1 0, 1, \dots, p - 1 0 , 1 , … , p − 1 p p p F p \F_{p} F p C × = C ∖ { 0 } \C^{\times} = \C \setminus \{ 0 \} C × = C ∖ { 0 } ψ \psi ψ F p \F_{p} F p C × \C^{\times} C × 加法指標 (additive character ) です．実際，
ψ ( a + a ′ ) = ψ ( a ) ψ ( a ′ ) \psi(a + a^{\prime}) = \psi(a)\psi(a^{\prime}) ψ ( a + a ′ ) = ψ ( a ) ψ ( a ′ ) であり，ψ ≢ 1 \psi \not{\equiv} 1 ψ ≡ 1
証明 g t ( x ) = e − π t x 2 g_{t}(x) = \e^{-\pi tx^{2}} g t ( x ) = e − π t x 2 系5.6（平行移動版Poisson和公式）． f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C h > 0 h > 0 h > 0 x 0 ∈ R x_{0} \in \R x 0 ∈ R ∑ r ∈ Z f ( x 0 + r h ) = 1 h ∑ s ∈ Z exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ^ ( s / h ) (5.2) \sum_{r \in \Z} f(x_{0} + rh)
=
\frac{1}{h}
\sum_{s \in \Z}
\exp(2\pi\iu\,s x_{0}/h)\,
\what{f}(s/h)
\tag{5.2} r ∈ Z ∑ f ( x 0 + r h ) = h 1 s ∈ Z ∑ exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ( s / h ) ( 5.2 ) が成り立つ．
h = p , x 0 = a p h = \sqrt{p},
\qquad
x_{0} = \frac{a}{\sqrt{p}} h = p , x 0 = p a を代入すると
∑ r ∈ Z g t ( a p + r p ) = 1 p ∑ s ∈ Z exp ( 2 π − 1 a s / p ) g t ^ ( s p ) \sum_{r \in \Z} g_{t} \left(\frac{a}{\sqrt{p}} + r\sqrt{p} \right)
=
\frac{1}{\sqrt{p}}
\sum_{s \in \Z}
\exp(2\pi\iu as/p) \what{g_t} \left(\frac{s}{\sqrt{p}}\right) r ∈ Z ∑ g t ( p a + r p ) = p 1 s ∈ Z ∑ exp ( 2 π − 1 a s / p ) g t ( p s ) である．定理5.3（ガウス関数のFourier変換）． t > 0 t > 0 t > 0 f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f_{t}(x)=\e^{-\pi t\norm{x}^{2}} f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f t ^ ( y ) = t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t \what{f_t}(y)
=
t^{-n/2}\e^{-\pi \norm{y}^{2}/t} f t ( y ) = t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t が成り立つ．
g t ^ ( y ) = t − 1 / 2 e − π y 2 / t \what{g_t}(y) = t^{-1/2}\e^{-\pi y^{2}/t} g t ( y ) = t − 1/2 e − π y 2 / t なので
ϑ a ( t ) = 1 p t ∑ s ∈ Z exp ( 2 π − 1 a s / p ) exp ( − π s 2 p t ) \vartheta_{a}(t)
=
\frac{1}{\sqrt{pt}}
\sum_{s\in\Z}
\exp(2\pi\iu as/p)
\exp\left(-\frac{\pi s^2}{pt}\right) ϑ a ( t ) = pt 1 s ∈ Z ∑ exp ( 2 π − 1 a s / p ) exp ( − pt π s 2 ) を得る．この和を剰余類 b ∈ F p b\in\F_p b ∈ F p
∑ s ∈ Z exp ( 2 π − 1 a s / p ) exp ( − π s 2 p t ) = ∑ b ∈ F p ∑ s ∈ Z s ≡ b ( m o d p ) exp ( 2 π − 1 a s / p ) exp ( − π s 2 p t ) = ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) ∑ s ∈ Z s ≡ b ( m o d p ) exp ( − π s 2 p t ) = ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) ϑ b ( 1 / t ) . \begin{aligned}
&\sum_{s\in\Z}
\exp(2\pi\iu as/p)
\exp\left(-\frac{\pi s^2}{pt}\right) \\
&\qquad=
\sum_{b\in\F_p}
\sum_{\substack{s\in\Z\\s\equiv b\pmod p}}
\exp(2\pi\iu as/p)
\exp\left(-\frac{\pi s^2}{pt}\right) \\
&\qquad=
\sum_{b\in\F_p}
\psi(ab)
\sum_{\substack{s\in\Z\\s\equiv b\pmod p}}
\exp\left(-\frac{\pi s^2}{pt}\right) \\
&\qquad=
\sum_{b\in\F_p}
\psi(ab)\vartheta_b(1/t).
\end{aligned} s ∈ Z ∑ exp ( 2 π − 1 a s / p ) exp ( − pt π s 2 ) = b ∈ F p ∑ s ∈ Z s ≡ b ( mod p ) ∑ exp ( 2 π − 1 a s / p ) exp ( − pt π s 2 ) = b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) s ∈ Z s ≡ b ( mod p ) ∑ exp ( − pt π s 2 ) = b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) ϑ b ( 1/ t ) . ここで s ≡ b ( m o d p ) s\equiv b\pmod p s ≡ b ( mod p ) a s ≡ a b ( m o d p ) as \equiv ab \pmod p a s ≡ ab ( mod p ) exp ( 2 π − 1 a s / p ) = ψ ( a b ) \exp(2\pi\iu as/p)=\psi(ab) exp ( 2 π − 1 a s / p ) = ψ ( ab )
ϑ a ( t ) = 1 p t ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) ϑ b ( 1 / t ) \vartheta_a(t)
=
\frac{1}{\sqrt{pt}}
\sum_{b\in\F_p}\psi(ab)\vartheta_b(1/t) ϑ a ( t ) = pt 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) ϑ b ( 1/ t ) となる．
証明終わり □
p = 2 p = 2 p = 2 ψ ( a b ) = ( − 1 ) a b \psi(ab) = (-1)^{ab} ψ ( ab ) = ( − 1 ) ab
ϑ 0 ( t ) = ϑ 0 ( 1 / t ) + ϑ 1 ( 1 / t ) 2 t , ϑ 1 ( t ) = ϑ 0 ( 1 / t ) − ϑ 1 ( 1 / t ) 2 t \begin{aligned}
\vartheta_{0}(t)
&= \frac{\vartheta_{0}(1/t) + \vartheta_{1}(1/t)}{\sqrt{2t}}, \\
\vartheta_1(t)
&=
\frac{\vartheta_0(1/t)-\vartheta_1(1/t)}{\sqrt{2t}}
\end{aligned} ϑ 0 ( t ) ϑ 1 ( t ) = 2 t ϑ 0 ( 1/ t ) + ϑ 1 ( 1/ t ) , = 2 t ϑ 0 ( 1/ t ) − ϑ 1 ( 1/ t ) となります．ここに現れる和と差が，後のHamming重みMacWilliams恒等式で
X + Y , X − Y X + Y,
\qquad
X - Y X + Y , X − Y になる変数変換のガウス特殊化です．
ここまでで得られたのは，ガウス関数による格子テータ関数の変換公式です． しかし，剰余類テータ関数は一つの実変数 t t t p p p
§9 一座標Poisson和公式 MacWilliams変数変換を取り出すには，一座標の剰余類和がFourier変換でどう変わるかを見れば十分です． ここからは，ガウス関数に限らず，任意のSchwartz関数を使います． この一般化により，完全重み多項式の p p p F p × ≔ F p ∖ { 0 } \F_{p}^{\times} \coloneqq \F_{p} \setminus \{ 0 \} F p × : = F p ∖ { 0 }
f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C
S a ( f ) = ∑ m ≡ a ( m o d p ) f ( m p ) S_{a}(f)
= \sum_{m \equiv a \pmod{p}} f\left(\frac{m}{\sqrt{p}}\right) S a ( f ) = m ≡ a ( mod p ) ∑ f ( p m ) と定めました．
補題9.1（加法指標の直交関係）．
任意の a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
∑ b ∈ F p ψ ( a b ) = { p , a = 0 , 0 , a ≠ 0 \sum_{b \in \F_{p}}\psi(ab)
=
\begin{cases}
p, & a = 0,\\
0, & a \neq 0
\end{cases} b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) = { p , 0 , a = 0 , a = 0 が成り立つ．
証明 a = 0 a = 0 a = 0 1 1 1 p p p a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 b ↦ a b b \mapsto ab b ↦ ab F p \F_{p} F p
∑ b ∈ F p ψ ( a b ) = ∑ u ∈ F p ψ ( u ) = ∑ u = 0 p − 1 exp ( 2 π − 1 u / p ) \sum_{b \in \F_{p}}\psi(ab)
= \sum_{u \in \F_{p}}\psi(u)
= \sum_{u = 0}^{p - 1}\exp(2\pi\iu u/p) b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) = u ∈ F p ∑ ψ ( u ) = u = 0 ∑ p − 1 exp ( 2 π − 1 u / p ) となる．これは公比が 1 1 1 p p p 0 0 0
証明終わり □
同様に，Fourier変換 f ^ \what{f} f
S b ( f ^ ) = ∑ m ≡ b ( m o d p ) f ^ ( m p ) S_{b}(\what{f})
= \sum_{m \equiv b \pmod{p}} \what{f} \left(\frac{m}{\sqrt{p}}\right) S b ( f ) = m ≡ b ( mod p ) ∑ f ( p m ) と書きます．
定理9.2（一座標Poisson和公式）．
上で定めたSchwartz関数 f f f a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
S a ( f ) = 1 p ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) S b ( f ^ ) (9.1) S_{a}(f)
=
\frac{1}{\sqrt{p}}
\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab)S_{b}(\what{f})
\tag{9.1} S a ( f ) = p 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) S b ( f ) ( 9.1 ) が成り立つ．
証明 左辺は
S a ( f ) = ∑ r ∈ Z f ( a + p r p ) S_{a}(f)
=
\sum_{r \in \Z} f\left(\frac{a + pr}{\sqrt{p}}\right) S a ( f ) = r ∈ Z ∑ f ( p a + p r ) である．これは，一次元格子 p Z \sqrt p\,\Z p Z a / p a/\sqrt p a / p
a p + p Z \frac{a}{\sqrt p} + \sqrt{p}\,\Z p a + p Z 上の和である． 系5.6（平行移動版Poisson和公式）． f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C h > 0 h > 0 h > 0 x 0 ∈ R x_{0} \in \R x 0 ∈ R ∑ r ∈ Z f ( x 0 + r h ) = 1 h ∑ s ∈ Z exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ^ ( s / h ) (5.2) \sum_{r \in \Z} f(x_{0} + rh)
=
\frac{1}{h}
\sum_{s \in \Z}
\exp(2\pi\iu\,s x_{0}/h)\,
\what{f}(s/h)
\tag{5.2} r ∈ Z ∑ f ( x 0 + r h ) = h 1 s ∈ Z ∑ exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ( s / h ) ( 5.2 ) が成り立つ．
h = p , x 0 = a p h = \sqrt{p},
\qquad
x_{0} = \frac{a}{\sqrt{p}} h = p , x 0 = p a を代入すると
∑ r ∈ Z f ( a p + r p ) = 1 p ∑ s ∈ Z e 2 π − 1 s a / p f ^ ( s p ) \sum_{r \in \Z} f\left(\frac{a}{\sqrt{p}} + r\sqrt{p} \right)
=
\frac{1}{\sqrt{p}}
\sum_{s \in \Z}
\e^{2\pi\iu sa/p} \what{f}\left(\frac{s}{\sqrt{p}}\right) r ∈ Z ∑ f ( p a + r p ) = p 1 s ∈ Z ∑ e 2 π − 1 s a / p f ( p s ) を得る．右辺の s ∈ Z s \in \Z s ∈ Z b ∈ F p b \in \F_{p} b ∈ F p
S a ( f ) = 1 p ∑ b ∈ F p e 2 π − 1 a b / p ∑ s ≡ b ( m o d p ) f ^ ( s p ) = 1 p ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) S b ( f ^ ) \begin{aligned}
S_{a}(f)
&=
\frac{1}{\sqrt{p}}
\sum_{b \in \F_{p}} \e^{2\pi\iu ab/p}
\sum_{s \equiv b \pmod{p}}
\what{f} \left(\frac{s}{\sqrt{p}}\right) \\
&=
\frac{1}{\sqrt{p}}
\sum_{b \in \F_{p}}\psi(ab)S_{b}(\what{f})
\end{aligned} S a ( f ) = p 1 b ∈ F p ∑ e 2 π − 1 ab / p s ≡ b ( mod p ) ∑ f ( p s ) = p 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) S b ( f ) となる．
証明終わり □
この式は，有限体上の一座標Fourier変換そのものです． 連続的なPoisson和公式を，剰余類ごとに分けて読んだ結果， 有限群 F p \F_{p} F p ( ψ ( a b ) ) a , b ∈ F p (\psi(ab))_{a, b \in \F_{p}} ( ψ ( ab ) ) a , b ∈ F p
後で形式変数に使うために，剰余類和を任意に指定できることも確認しておきます．
補題9.3．
任意の複素数列 ( z a ) a ∈ F p (z_{a})_{a \in \F_{p}} ( z a ) a ∈ F p g : R → C g \colon \R \to \C g : R → C
∑ m ≡ a ( m o d p ) g ( m p ) = z a ( a ∈ F p ) \sum_{m \equiv a \pmod{p}} g\left(\frac{m}{\sqrt{p}}\right)
=
z_{a}
\qquad(a \in \F_{p}) m ≡ a ( mod p ) ∑ g ( p m ) = z a ( a ∈ F p ) を満たすものが存在する．
証明 関数の台とは，その関数が非零となる点の集合の閉包である． 符号語の台と同じsupportという語を使うが，ここでは関数に対する台を意味する． 各代表 a ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } a \in \{ 0, 1, \dots, p - 1 \} a ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } a / p a/\sqrt{p} a / p ϕ a \phi_{a} ϕ a
{ m p : m ∈ Z } \left\{ \frac{m}{\sqrt{p}} : m \in \Z \right\} { p m : m ∈ Z } のうち a / p a/\sqrt{p} a / p a / p a/\sqrt{p} a / p 1 / ( 3 p ) 1/(3\sqrt{p}) 1/ ( 3 p )
ϕ a ( a / p ) = 1 \phi_{a}(a/\sqrt{p}) = 1 ϕ a ( a / p ) = 1 となるように正規化する． このような関数は，解析で標準的に用いられるbump関数を平行移動・拡大縮小して構成できる． すると
g ( x ) = ∑ a = 0 p − 1 z a ϕ a ( x ) g(x) = \sum_{a = 0}^{p - 1} z_{a} \phi_{a}(x) g ( x ) = a = 0 ∑ p − 1 z a ϕ a ( x ) は滑らかでコンパクト台を持つのでSchwartz関数であり， 各剰余類和は指定通り z a z_{a} z a b b b b / p b/\sqrt p b / p ϕ b ( b / p ) = 1 \phi_b(b/\sqrt p)=1 ϕ b ( b / p ) = 1 ϕ a \phi_a ϕ a 0 0 0
S b ( g ) = ∑ m ∈ Z m ≡ b ( m o d p ) g ( m p ) = g ( b p ) = z b \begin{aligned}
S_b(g)
&=
\sum_{\substack{m\in\Z\\m\equiv b\pmod p}}
g\left(\frac{m}{\sqrt p}\right) \\
&=
g\left(\frac{b}{\sqrt p}\right) \\
&=
z_b
\end{aligned} S b ( g ) = m ∈ Z m ≡ b ( mod p ) ∑ g ( p m ) = g ( p b ) = z b である．
証明終わり □
この補題を g = f ^ g = \what{f} g = f 命題5.4（Schwartz空間上のFourier変換）． Fourier変換について，次が成り立つ．
f f f f ^ \what{f} f 上で採用したFourier変換の規約では
f ^ ^ ( x ) = f ( − x ) \what{\what{f}}(x) = f(-x) f ( x ) = f ( − x ) が成り立つ． したがって，Fourier変換はSchwartz関数の空間の 線形自己同型である． 一変数Schwartz関数 f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C
f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_{E}(x) = \prod_{e \in E} f(x_{e}) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) に対して，f E f_E f E R E \R^E R E
f E ^ ( y ) = ∏ e ∈ E f ^ ( y e ) \what{f_{E}}(y)
=
\prod_{e \in E} \what{f}(y_{e}) f E ( y ) = e ∈ E ∏ f ( y e ) が成り立つ． g g g g = f ^ g = \what{f} g = f f f f S a ( f ^ ) S_{a}(\what{f}) S a ( f )
§10 Poisson和公式から完全MacWilliams恒等式へ ここまでの準備を使って，完全重み多項式版のMacWilliams恒等式を証明します． ここで得るのは，ガウス関数によるテータ変換公式そのものではなく， 任意のSchwartz関数と剰余類和の自由度から取り出す多項式恒等式です． 証明では，まず任意の評価点 z = ( z b ) b ∈ F p ∈ C p z=(z_b)_{b\in\F_p}\in\C^p z = ( z b ) b ∈ F p ∈ C p T b T_b T b
定理10.1（完全重み多項式版MacWilliams恒等式）．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E k k k F p \F_{p} F p b ∈ F p b \in \F_{p} b ∈ F p T b T_{b} T b
cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = 1 p k cwe C ( ( ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) T b ) a ∈ F p ) (10.1) \cwe_{C^{\perp}}\bigl((T_{b})_{b \in \F_{p}} \bigr)
=
\frac{1}{p^{k}}
\cwe_{C}\left(
\left(\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) T_{b} \right)_{a \in \F_{p}}
\right)
\tag{10.1} cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = p k 1 cwe C b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) T b a ∈ F p ( 10.1 ) が成り立つ．
証明 まず，評価点
z = ( z b ) b ∈ F p ∈ C p z=(z_b)_{b\in\F_p}\in\C^p z = ( z b ) b ∈ F p ∈ C p を任意に固定する． 補題9.3． 任意の複素数列 ( z a ) a ∈ F p (z_{a})_{a \in \F_{p}} ( z a ) a ∈ F p g : R → C g \colon \R \to \C g : R → C
∑ m ≡ a ( m o d p ) g ( m p ) = z a ( a ∈ F p ) \sum_{m \equiv a \pmod{p}} g\left(\frac{m}{\sqrt{p}}\right)
=
z_{a}
\qquad(a \in \F_{p}) m ≡ a ( mod p ) ∑ g ( p m ) = z a ( a ∈ F p ) を満たすものが存在する． f f f
S b ( f ^ ) = z b ( b ∈ F p ) S_{b}(\what{f}) = z_{b}
\qquad(b \in \F_{p}) S b ( f ) = z b ( b ∈ F p ) とできる． 定理9.2（一座標Poisson和公式）． 上で定めたSchwartz関数 f f f a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
S a ( f ) = 1 p ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) S b ( f ^ ) (9.1) S_{a}(f)
=
\frac{1}{\sqrt{p}}
\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab)S_{b}(\what{f})
\tag{9.1} S a ( f ) = p 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) S b ( f ) ( 9.1 ) が成り立つ．
S a ( f ) = 1 p ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) z b (10.2) S_{a}(f)
= \frac{1}{\sqrt p}\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) z_{b}
\tag{10.2} S a ( f ) = p 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) z b ( 10.2 ) である．
次に，R E \R^{E} R E
f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_{E}(x) = \prod_{e \in E} f(x_{e}) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) を考える．命題5.4（Schwartz空間上のFourier変換）． Fourier変換について，次が成り立つ．
f f f f ^ \what{f} f 上で採用したFourier変換の規約では
f ^ ^ ( x ) = f ( − x ) \what{\what{f}}(x) = f(-x) f ( x ) = f ( − x ) が成り立つ． したがって，Fourier変換はSchwartz関数の空間の 線形自己同型である． 一変数Schwartz関数 f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C
f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_{E}(x) = \prod_{e \in E} f(x_{e}) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) に対して，f E f_E f E R E \R^E R E
f E ^ ( y ) = ∏ e ∈ E f ^ ( y e ) \what{f_{E}}(y)
=
\prod_{e \in E} \what{f}(y_{e}) f E ( y ) = e ∈ E ∏ f ( y e ) が成り立つ．
f E ^ ( y ) = ∏ e ∈ E f ^ ( y e ) \what{f_{E}}(y) = \prod_{e \in E}\what{f}(y_{e}) f E ( y ) = e ∈ E ∏ f ( y e ) である．構成法A格子 Λ ( C ) \Lat(C) Λ ( C )
∑ x ∈ Λ ( C ) f E ( x ) = 1 vol ( R E / Λ ( C ) ) ∑ y ∈ Λ ( C ) ∗ f E ^ ( y ) . \sum_{x \in \Lat(C)} f_{E}(x)
= \frac{1}{\vol(\R^{E}/\Lat(C))}
\sum_{y\in\Lat(C)^{\ast}}\what{f_{E}}(y). x ∈ Λ ( C ) ∑ f E ( x ) = vol ( R E /Λ ( C )) 1 y ∈ Λ ( C ) ∗ ∑ f E ( y ) . 命題4.4． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E k k k F p \F_{p} F p vol ( R E / Λ ( C ) ) = p n / 2 − k \vol(\R^{E}/\Lat(C))
=
p^{n/2-k} vol ( R E /Λ ( C )) = p n /2 − k が成り立つ． 定理4.5（構成法Aと双対）． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast}
=
\Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) が成り立つ．
vol ( R E / Λ ( C ) ) = p n / 2 − k , Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \vol(\R^{E}/\Lat(C)) = p^{n/2 - k},
\qquad
\Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) vol ( R E /Λ ( C )) = p n /2 − k , Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) なので
∑ x ∈ Λ ( C ) f E ( x ) = p k − n / 2 ∑ y ∈ Λ ( C ⊥ ) f E ^ ( y ) . (10.3) \sum_{x \in \Lat(C)} f_{E}(x)
= p^{k-n/2}
\sum_{y \in \Lat(C^{\perp})} \what{f_{E}}(y).
\tag{10.3} x ∈ Λ ( C ) ∑ f E ( x ) = p k − n /2 y ∈ Λ ( C ⊥ ) ∑ f E ( y ) . ( 10.3 ) 命題7.2． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C R E \R^E R E f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_E(x)=\prod_{e\in E}f(x_e) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) を考える． このとき
∑ x ∈ Λ ( C ) f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) (7.2) \sum_{x \in \Lat(C)} f_{E}(x)
=
\cwe_{C}\bigl((S_{a}(f))_{a \in \F_{p}}\bigr)
\tag{7.2} x ∈ Λ ( C ) ∑ f E ( x ) = cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) ( 7.2 ) が成り立つ．
cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) = p k − n / 2 cwe C ⊥ ( ( S b ( f ^ ) ) b ∈ F p ) \cwe_{C}\bigl((S_{a}(f))_{a \in \F_{p}}\bigr)
=
p^{k - n/2}
\cwe_{C^{\perp}}\bigl((S_{b}(\what{f}))_{b \in \F_{p}}\bigr) cwe C ( ( S a ( f ) ) a ∈ F p ) = p k − n /2 cwe C ⊥ ( ( S b ( f ) ) b ∈ F p ) である．いま S b ( f ^ ) = z b S_{b}(\what{f}) = z_{b} S b ( f ) = z b S a ( f ) = 1 p ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) z b (10.2) S_{a}(f)
= \frac{1}{\sqrt p}\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) z_{b}
\tag{10.2} S a ( f ) = p 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) z b ( 10.2 )
cwe C ( ( 1 p ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) z b ) a ∈ F p ) = p k − n / 2 cwe C ⊥ ( ( z b ) b ∈ F p ) . \cwe_{C}\left(
\left(\frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab)z_{b} \right)_{a \in \F_{p}}
\right)
= p^{k - n/2}
\cwe_{C^{\perp}}\bigl((z_{b})_{b \in \F_{p}}\bigr). cwe C p 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) z b a ∈ F p = p k − n /2 cwe C ⊥ ( ( z b ) b ∈ F p ) . 完全重み多項式は全次数 n n n 1 / p 1/\sqrt{p} 1/ p p − n / 2 p^{-n/2} p − n /2
p − n / 2 cwe C ( ( ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) z b ) a ∈ F p ) = p k − n / 2 cwe C ⊥ ( ( z b ) b ∈ F p ) . p^{-n/2}
\cwe_{C}\left(
\left(\sum_{b \in \F_{p}}\psi(ab) z_{b} \right)_{a \in \F_{p}}
\right)
=
p^{k - n/2}
\cwe_{C^{\perp}}\bigl((z_{b})_{b \in \F_{p}}\bigr). p − n /2 cwe C b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) z b a ∈ F p = p k − n /2 cwe C ⊥ ( ( z b ) b ∈ F p ) . 両辺に p n / 2 − k p^{n/2 - k} p n /2 − k cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = 1 p k cwe C ( ( ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) T b ) a ∈ F p ) (10.1) \cwe_{C^{\perp}}\bigl((T_{b})_{b \in \F_{p}} \bigr)
=
\frac{1}{p^{k}}
\cwe_{C}\left(
\left(\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) T_{b} \right)_{a \in \F_{p}}
\right)
\tag{10.1} cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = p k 1 cwe C b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) T b a ∈ F p ( 10.1 ) T b = z b T_b=z_b T b = z b
得られた等式は任意の z ∈ C p z\in\C^p z ∈ C p ( T b ) b ∈ F p (T_b)_{b\in\F_p} ( T b ) b ∈ F p C p \C^p C p 0 0 0
証明終わり □
この完全重み多項式版の恒等式から，ガウス関数による構成法A格子のテータ変換公式も特殊化として戻ります． 定理10.1（完全重み多項式版MacWilliams恒等式）． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E k k k F p \F_{p} F p b ∈ F p b \in \F_{p} b ∈ F p T b T_{b} T b cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = 1 p k cwe C ( ( ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) T b ) a ∈ F p ) (10.1) \cwe_{C^{\perp}}\bigl((T_{b})_{b \in \F_{p}} \bigr)
=
\frac{1}{p^{k}}
\cwe_{C}\left(
\left(\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) T_{b} \right)_{a \in \F_{p}}
\right)
\tag{10.1} cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = p k 1 cwe C b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) T b a ∈ F p ( 10.1 ) が成り立つ．
T b = ϑ b ( 1 / t ) ( b ∈ F p ) T_b=\vartheta_b(1/t)
\qquad(b\in\F_p) T b = ϑ b ( 1/ t ) ( b ∈ F p ) を代入します． 命題8.3（一座標の剰余類テータ変換）． 任意の a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p t > 0 t > 0 t > 0
ϑ a ( t ) = 1 p t ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) ϑ b ( 1 / t ) (8.3) \vartheta_{a}(t)
=
\frac{1}{\sqrt{pt}}
\sum_{b \in \F_{p}}
\psi(ab)\vartheta_{b}(1/t)
\tag{8.3} ϑ a ( t ) = pt 1 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) ϑ b ( 1/ t ) ( 8.3 ) が成り立つ．
∑ b ∈ F p ψ ( a b ) ϑ b ( 1 / t ) = p t ϑ a ( t ) \sum_{b\in\F_p}\psi(ab)\vartheta_b(1/t)
=
\sqrt{pt}\,\vartheta_a(t) b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) ϑ b ( 1/ t ) = pt ϑ a ( t ) という形で用いると，
Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1 / t ) = cwe C ⊥ ( ( ϑ b ( 1 / t ) ) b ∈ F p ) = p − k cwe C ( ( p t ϑ a ( t ) ) a ∈ F p ) . \begin{aligned}
\Theta_{\Lat(C^\perp)}(1/t)
&=
\cwe_{C^\perp}\bigl((\vartheta_b(1/t))_{b\in\F_p}\bigr) \\
&=
p^{-k}
\cwe_C\bigl((\sqrt{pt}\,\vartheta_a(t))_{a\in\F_p}\bigr).
\end{aligned} Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1/ t ) = cwe C ⊥ ( ( ϑ b ( 1/ t ) ) b ∈ F p ) = p − k cwe C ( ( pt ϑ a ( t ) ) a ∈ F p ) . 完全重み多項式は全次数 n n n
Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1 / t ) = p n / 2 − k t n / 2 Θ Λ ( C ) ( t ) \Theta_{\Lat(C^\perp)}(1/t)
=
p^{n/2-k}t^{n/2}\Theta_{\Lat(C)}(t) Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1/ t ) = p n /2 − k t n /2 Θ Λ ( C ) ( t ) を得ます． これを整理すると
Θ Λ ( C ) ( t ) = p k − n / 2 t − n / 2 Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1 / t ) \Theta_{\Lat(C)}(t)
=
p^{k-n/2}t^{-n/2}
\Theta_{\Lat(C^\perp)}(1/t) Θ Λ ( C ) ( t ) = p k − n /2 t − n /2 Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1/ t ) です． これは Θ Λ ( C ) ( t ) = p k − n / 2 t − n / 2 Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1 / t ) (8.2) \Theta_{\Lat(C)}(t)
=
p^{k - n/2} t^{-n/2} \Theta_{\Lat(C^{\perp})}(1/t)
\tag{8.2} Θ Λ ( C ) ( t ) = p k − n /2 t − n /2 Θ Λ ( C ⊥ ) ( 1/ t ) ( 8.2 )
係数の出所を整理しておきます． 一座標Poisson和公式から，各座標について p − 1 / 2 p^{-1/2} p − 1/2 n n n p − n / 2 p^{-n/2} p − n /2 p k − n / 2 p^{k-n/2} p k − n /2 p − k = 1 / # C p^{-k}=1/\card{C} p − k = 1/# C
この証明の中で，格子論と解析が果たした役割を確認しておきます． 構成法Aにより，符号 C C C Λ ( C ) \Lat(C) Λ ( C ) Λ ( C ) \Lat(C) Λ ( C ) Λ ( C ) ∗ \Lat(C)^{\ast} Λ ( C ) ∗ Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ )
§11 Hamming重みMacWilliams恒等式 完全重み多項式版から，通常のHamming重みMacWilliams恒等式を得ます． ここでは q = p q = p q = p
W C ⊥ ( X , Y ) = 1 # C W C ( X + ( p − 1 ) Y , X − Y ) W_{C^{\perp}}(X, Y)
=
\frac{1}{\card{C}}
W_{C}\bigl(X + (p - 1)Y, X - Y \bigr) W C ⊥ ( X , Y ) = # C 1 W C ( X + ( p − 1 ) Y , X − Y ) です．
定理11.1（Hamming重みMacWilliams恒等式）．
C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E
W C ⊥ ( X , Y ) = 1 # C W C ( X + ( p − 1 ) Y , X − Y ) W_{C^{\perp}}(X, Y)
=
\frac{1}{\card{C}}
W_{C}\bigl( X + (p - 1)Y, X - Y \bigr) W C ⊥ ( X , Y ) = # C 1 W C ( X + ( p − 1 ) Y , X − Y ) が成り立つ．
証明 k ≔ dim F p C k \coloneqq \dim_{\F_{p}} C k : = dim F p C 定理10.1（完全重み多項式版MacWilliams恒等式）． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E k k k F p \F_{p} F p b ∈ F p b \in \F_{p} b ∈ F p T b T_{b} T b cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = 1 p k cwe C ( ( ∑ b ∈ F p ψ ( a b ) T b ) a ∈ F p ) (10.1) \cwe_{C^{\perp}}\bigl((T_{b})_{b \in \F_{p}} \bigr)
=
\frac{1}{p^{k}}
\cwe_{C}\left(
\left(\sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) T_{b} \right)_{a \in \F_{p}}
\right)
\tag{10.1} cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = p k 1 cwe C b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) T b a ∈ F p ( 10.1 ) が成り立つ．
T 0 = X , T b = Y ( b ≠ 0 ) T_{0} = X,
\qquad
T_{b} = Y \quad(b \neq 0) T 0 = X , T b = Y ( b = 0 ) と特殊化する． 左辺は
cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = W C ⊥ ( X , Y ) \cwe_{C^{\perp}}\bigl((T_{b})_{b \in \F_{p}}\bigr) = W_{C^{\perp}}(X, Y) cwe C ⊥ ( ( T b ) b ∈ F p ) = W C ⊥ ( X , Y ) である．
右辺の変数を計算する． a = 0 a = 0 a = 0
∑ b ∈ F p ψ ( 0 ⋅ b ) T b = X + ( p − 1 ) Y \sum_{b \in \F_{p}} \psi(0 \cdot b) T_{b}
=
X + (p - 1)Y b ∈ F p ∑ ψ ( 0 ⋅ b ) T b = X + ( p − 1 ) Y である． 一方，a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 補題9.1（加法指標の直交関係）． 任意の a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p
∑ b ∈ F p ψ ( a b ) = { p , a = 0 , 0 , a ≠ 0 \sum_{b \in \F_{p}}\psi(ab)
=
\begin{cases}
p, & a = 0,\\
0, & a \neq 0
\end{cases} b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) = { p , 0 , a = 0 , a = 0 が成り立つ．
∑ b ∈ F p ψ ( a b ) = 0 \sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) = 0 b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) = 0 であり，したがって
∑ b ∈ F p × ψ ( a b ) = − 1 \sum_{b \in \F_{p}^{\times}}\psi(ab) = -1 b ∈ F p × ∑ ψ ( ab ) = − 1 である．よって
∑ b ∈ F p ψ ( a b ) T b = X + Y ∑ b ∈ F p × ψ ( a b ) = X − Y . \sum_{b \in \F_{p}} \psi(ab) T_{b}
=
X + Y\sum_{b \in \F_{p}^{\times}} \psi(ab)
=
X - Y. b ∈ F p ∑ ψ ( ab ) T b = X + Y b ∈ F p × ∑ ψ ( ab ) = X − Y . したがって右辺は
1 p k W C ( X + ( p − 1 ) Y , X − Y ) \frac{1}{p^{k}}
W_{C}\bigl( X + (p - 1)Y, X - Y \bigr) p k 1 W C ( X + ( p − 1 ) Y , X − Y ) になる． C C C k k k F p \F_{p} F p p k = # C p^{k} = \card{C} p k = # C
証明終わり □
これで，構成法AとPoisson和公式からMacWilliams恒等式が導かれました． 通常の指標論的証明では，有限集合 F p E \F_{p}^{E} F p E
§12 小さな例：二元長さ三の反復符号 最後に，小さな例で式を確認します． p = 2 p = 2 p = 2 E = { 1 , 2 , 3 } E = \{ 1, 2, 3 \} E = { 1 , 2 , 3 }
C = { 000 , 111 } ≤ F 2 3 C = \{ 000, 111 \} \leq \F_{2}^{3} C = { 000 , 111 } ≤ F 2 3 を考えます． この符号の重み多項式は
W C ( X , Y ) = X 3 + Y 3 W_{C}(X, Y) = X^{3} + Y^{3} W C ( X , Y ) = X 3 + Y 3 です．双対符号は偶重み符号
C ⊥ = { 000 , 110 , 101 , 011 } C^{\perp} = \{ 000, 110, 101, 011 \} C ⊥ = { 000 , 110 , 101 , 011 } であり，その重み多項式は
W C ⊥ ( X , Y ) = X 3 + 3 X Y 2 W_{C^{\perp}}(X, Y) = X^{3} + 3XY^{2} W C ⊥ ( X , Y ) = X 3 + 3 X Y 2 です．
MacWilliams恒等式の右辺を計算すると
1 # C W C ( X + Y , X − Y ) = 1 2 ( ( X + Y ) 3 + ( X − Y ) 3 ) = X 3 + 3 X Y 2 \begin{aligned}
\frac{1}{\card{C}} W_{C}(X + Y, X - Y)
&=
\frac{1}{2}\left((X + Y)^{3} + (X - Y)^{3} \right) \\
&=
X^{3} + 3XY^{2}
\end{aligned} # C 1 W C ( X + Y , X − Y ) = 2 1 ( ( X + Y ) 3 + ( X − Y ) 3 ) = X 3 + 3 X Y 2 となり，確かに W C ⊥ ( X , Y ) W_{C^{\perp}}(X, Y) W C ⊥ ( X , Y )
構成法A格子を見ると，
Λ ( C ) = { x 2 ∈ R 3 : x 1 ≡ x 2 ≡ x 3 ( m o d 2 ) } \Lat(C)
=
\left\{
\frac{x}{\sqrt{2}} \in \R^{3}:
x_{1} \equiv x_{2} \equiv x_{3} \pmod{2}
\right\} Λ ( C ) = { 2 x ∈ R 3 : x 1 ≡ x 2 ≡ x 3 ( mod 2 ) } です． 正規化前の格子は
L ( C ) = Z ( 2 , 0 , 0 ) + Z ( 0 , 2 , 0 ) + Z ( 1 , 1 , 1 ) L(C)
=
\Z(2,0,0)+\Z(0,2,0)+\Z(1,1,1) L ( C ) = Z ( 2 , 0 , 0 ) + Z ( 0 , 2 , 0 ) + Z ( 1 , 1 , 1 ) と書けます． 右辺の元は三つの座標がすべて同じ偶奇を持ちます． また
( 0 , 0 , 2 ) = 2 ( 1 , 1 , 1 ) − ( 2 , 0 , 0 ) − ( 0 , 2 , 0 ) (0,0,2)=2(1,1,1)-(2,0,0)-(0,2,0) ( 0 , 0 , 2 ) = 2 ( 1 , 1 , 1 ) − ( 2 , 0 , 0 ) − ( 0 , 2 , 0 ) なので，三つの偶数座標の方向もすべて生成できます． 逆に，三つの座標が同じ偶奇なら，( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 ) ( 2 , 0 , 0 ) (2,0,0) ( 2 , 0 , 0 ) ( 0 , 2 , 0 ) (0,2,0) ( 0 , 2 , 0 ) ( 0 , 0 , 2 ) (0,0,2) ( 0 , 0 , 2 ) C ⊥ C^{\perp} C ⊥
Λ ( C ⊥ ) = { y 2 ∈ R 3 : y 1 + y 2 + y 3 ≡ 0 ( m o d 2 ) } . \Lat(C^{\perp})
=
\left\{
\frac{y}{\sqrt{2}} \in \R^{3}:
y_{1} + y_{2} + y_{3} \equiv 0 \pmod{2}
\right\}. Λ ( C ⊥ ) = { 2 y ∈ R 3 : y 1 + y 2 + y 3 ≡ 0 ( mod 2 ) } . 正規化前の格子は
L ( C ⊥ ) = Z ( 1 , 1 , 0 ) + Z ( 1 , 0 , 1 ) + Z ( 0 , 1 , 1 ) L(C^{\perp})
=
\Z(1,1,0)+\Z(1,0,1)+\Z(0,1,1) L ( C ⊥ ) = Z ( 1 , 1 , 0 ) + Z ( 1 , 0 , 1 ) + Z ( 0 , 1 , 1 ) と書けます． 右辺の元は座標和が偶数です． 逆に y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ Z 3 y=(y_1,y_2,y_3)\in\Z^3 y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ Z 3
y = y 1 + y 2 − y 3 2 ( 1 , 1 , 0 ) + y 1 − y 2 + y 3 2 ( 1 , 0 , 1 ) + − y 1 + y 2 + y 3 2 ( 0 , 1 , 1 ) y
=
\frac{y_1+y_2-y_3}{2}(1,1,0)
+
\frac{y_1-y_2+y_3}{2}(1,0,1)
+
\frac{-y_1+y_2+y_3}{2}(0,1,1) y = 2 y 1 + y 2 − y 3 ( 1 , 1 , 0 ) + 2 y 1 − y 2 + y 3 ( 1 , 0 , 1 ) + 2 − y 1 + y 2 + y 3 ( 0 , 1 , 1 ) と書けます．座標和が偶数であることから，三つの係数はいずれも整数です． 基底行列の行列式の絶対値はそれぞれ 4 4 4 2 2 2 1 / 2 1/\sqrt2 1/ 2
vol ( R 3 / Λ ( C ) ) = 2 , vol ( R 3 / Λ ( C ⊥ ) ) = 1 2 \vol(\R^{3}/\Lat(C))=\sqrt2,
\qquad
\vol(\R^{3}/\Lat(C^{\perp}))=\frac{1}{\sqrt2} vol ( R 3 /Λ ( C )) = 2 , vol ( R 3 /Λ ( C ⊥ )) = 2 1 です． 双対格子の余体積が互いに逆数になることも，この例で具体的に確認できます． 定理4.5（構成法Aと双対）． C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast}
=
\Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) が成り立つ．
ϑ 0 ( 1 / t ) + ϑ 1 ( 1 / t ) , ϑ 0 ( 1 / t ) − ϑ 1 ( 1 / t ) \vartheta_{0}(1/t)+\vartheta_{1}(1/t),
\qquad
\vartheta_{0}(1/t)-\vartheta_{1}(1/t) ϑ 0 ( 1/ t ) + ϑ 1 ( 1/ t ) , ϑ 0 ( 1/ t ) − ϑ 1 ( 1/ t ) という剰余類テータ和の和と差です． 任意のSchwartz関数へ広げ，Fourier変換後の剰余類和を形式変数 X , Y X,Y X , Y X + Y X+Y X + Y X − Y X-Y X − Y 1 1 1
§13 この証明で格子とテータ関数は何をしていたか 今回の証明で，格子とテータ関数が担っていた役割を整理します．
第一に，構成法Aは符号を格子へ持ち上げました． 符号 C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E Λ ( C ) ⊆ R E \Lat(C) \subseteq \R^{E} Λ ( C ) ⊆ R E C C C x ∈ Λ ( C ) x \in \Lat(C) x ∈ Λ ( C ) p x ∈ Z E \sqrt{p}\,x \in \Z^{E} p x ∈ Z E p p p C C C
第二に，双対符号は双対格子として現れました．
Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) という等式が，符号理論の双対性と格子論の双対性を結んでいます． この等式がなければ，Poisson和公式を使っても双対符号は現れません．
第三に，剰余類分解は格子点の和を完全重み多項式への代入として表しました． 格子点を剰余類ごとに分けると，完全重み多項式が現れます． ガウス関数を使えば，その和は格子テータ関数です． 一般のSchwartz関数を使えば，完全重み多項式の変数を自由に動かすことができます．
第四に，Poisson和公式がMacWilliams変換を与えました． 格子上の和を双対格子上の和へ変換するPoisson和公式を，一座標の剰余類和として読むと， 有限体 F p \F_{p} F p Y Y Y
X + ( p − 1 ) Y , X − Y X + (p - 1)Y,
\qquad
X - Y X + ( p − 1 ) Y , X − Y が現れます．
要点を一文で言えば，次のようになります．
ガウス関数ではテータ変換公式が現れ，任意のSchwartz関数ではその背後の完全重み多項式版MacWilliams恒等式が現れる．
§14 この回で見た概念 この回では，MacWilliams恒等式の証明を目標にしながら， 格子とテータ関数の基本的な道具を導入しました． 整理すると次のようになります．
ユークリッド格子 R n \R^{n} R n
余体積 格子の基本領域の体積です． 構成法A格子では，符号 C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E k k k
vol ( R E / Λ ( C ) ) = p n / 2 − k \vol(\R^{E}/\Lat(C)) = p^{n/2 - k} vol ( R E /Λ ( C )) = p n /2 − k となりました．
双対格子 すべての格子点と整数値内積を持つベクトル全体です． 構成法Aでは
Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) \Lat(C)^{\ast} = \Lat(C^{\perp}) Λ ( C ) ∗ = Λ ( C ⊥ ) が成り立ち，符号の双対性が格子の双対性として表れました．
Poisson和公式 格子上の和と双対格子上のFourier変換後の和を結ぶ公式です． 今回の証明の深層原理です．
テータ関数 ガウス関数を格子点上で足し上げた関数です． Poisson和公式から，テータ関数は双対格子のテータ関数と変換公式で結ばれます．
構成法A 符号 C ≤ F p E C \leq \F_{p}^{E} C ≤ F p E m m o d p ∈ C m \bmod{p} \in C m mod p ∈ C
完全重み多項式 各記号 a ∈ F p a \in \F_{p} a ∈ F p T a T_{a} T a
§15 今回の系統の振り返り 冒頭で述べたように，今回の証明は五つの系統のうち
Fourier・指標・Poisson系
に属します． ただし，表面的な道具立ては有限アーベル群の指標論ではなく， 格子・テータ関数・Poisson和公式でした．
この回の対応を整理すると，次のようになります．
今回の証明は，有限体上の指標論的証明と深層では同じ方向にあります． しかし，有限集合上の指標和としてではなく， 連続空間上のPoisson和公式として見ることで，ガウス関数の場合はテータ変換公式が， 任意のSchwartz関数の場合は完全重み多項式版MacWilliams恒等式が現れます． この違いが，この連載で見たい「同じ定理が違う分野の言葉で見える」という現象です．
§16 一般の q = p d q = p^{d} q = p d この節は発展的な補足であり，主証明には使わない拡張の見取り図です． 最初は読み飛ばして構いません．
本稿では，標準整数格子 Z n \Z^{n} Z n m o d p \bmod{p} mod p F p \F_{p} F p F q \F_{q} F q q = p d q = p^{d} q = p d
一つの方法は，F q \F_{q} F q F p \F_{p} F p d d d d d d p p p R E × [ d ] \R^{E\times[d]} R E × [ d ] d n dn d n
[ d ] ≔ { 1 , … , d } [d]\coloneqq\{1,\dots,d\} [ d ] : = { 1 , … , d } と書き，座標集合を E × [ d ] E\times[d] E × [ d ] q = p d q=p^d q = p d
Tr F q / F p ( z ) = z + z p + ⋯ + z p d − 1 \Tr_{\F_{q}/\F_{p}}(z)
= z + z^{p} + \dots + z^{p^{d - 1}} Tr F q / F p ( z ) = z + z p + ⋯ + z p d − 1 で定義されます． 標準事実として，トレース対
( x , y ) ⟼ Tr F q / F p ( x y ) (x,y)\longmapsto
\Tr_{\F_q/\F_p}(xy) ( x , y ) ⟼ Tr F q / F p ( x y ) は非退化です． したがって，任意の F p \F_p F p F q \F_{q} F q F p \F_{p} F p β 1 , … , β d \beta_{1}, \dots, \beta_{d} β 1 , … , β d β 1 ∨ , … , β d ∨ \beta_{1}^{\vee}, \dots, \beta_{d}^{\vee} β 1 ∨ , … , β d ∨
Tr F q / F p ( β i β j ∨ ) = δ i j \Tr_{\F_{q}/\F_{p}}(\beta_{i} \beta_{j}^{\vee}) = \delta_{ij} Tr F q / F p ( β i β j ∨ ) = δ ij を満たす基底です．ここで δ i j \delta_{ij} δ ij
この二つの基底を使い分けます． c = ( c e ) e ∈ E ∈ F q E c=(c_e)_{e\in E}\in\F_q^E c = ( c e ) e ∈ E ∈ F q E
c e = ∑ j = 1 d c e , j β j ( c e , j ∈ F p ) c_e=\sum_{j=1}^d c_{e,j}\beta_j
\qquad(c_{e,j}\in\F_p) c e = j = 1 ∑ d c e , j β j ( c e , j ∈ F p ) と展開し，
Φ β ( c ) ≔ ( c e , j ) ( e , j ) ∈ E × [ d ] ∈ F p E × [ d ] \Phi_\beta(c)
\coloneqq
(c_{e,j})_{(e,j)\in E\times[d]}
\in
\F_p^{E\times[d]} Φ β ( c ) : = ( c e , j ) ( e , j ) ∈ E × [ d ] ∈ F p E × [ d ] と定義します． 同様に，u = ( u e ) e ∈ E ∈ F q E u=(u_e)_{e\in E}\in\F_q^E u = ( u e ) e ∈ E ∈ F q E
u e = ∑ j = 1 d u e , j β j ∨ ( u e , j ∈ F p ) u_e=\sum_{j=1}^d u_{e,j}\beta_j^\vee
\qquad(u_{e,j}\in\F_p) u e = j = 1 ∑ d u e , j β j ∨ ( u e , j ∈ F p ) と展開し，
Φ β ∨ ( u ) ≔ ( u e , j ) ( e , j ) ∈ E × [ d ] ∈ F p E × [ d ] \Phi_{\beta^\vee}(u)
\coloneqq
(u_{e,j})_{(e,j)\in E\times[d]}
\in
\F_p^{E\times[d]} Φ β ∨ ( u ) : = ( u e , j ) ( e , j ) ∈ E × [ d ] ∈ F p E × [ d ] と定義します． F p E × [ d ] \F_p^{E\times[d]} F p E × [ d ]
v ⋅ w = ∑ ( e , j ) ∈ E × [ d ] v e , j w e , j v\cdot w
=
\sum_{(e,j)\in E\times[d]} v_{e,j}w_{e,j} v ⋅ w = ( e , j ) ∈ E × [ d ] ∑ v e , j w e , j という標準内積です． この記法では，c , u ∈ F q E c,u\in\F_q^E c , u ∈ F q E
Φ β ( c ) ⋅ Φ β ∨ ( u ) = Tr F q / F p ( u ⋅ c ) \Phi_\beta(c)\cdot\Phi_{\beta^\vee}(u)
=
\Tr_{\F_q/\F_p}(u\cdot c) Φ β ( c ) ⋅ Φ β ∨ ( u ) = Tr F q / F p ( u ⋅ c ) が成り立ちます． 実際，各座標で
Tr F q / F p ( u e c e ) = ∑ j = 1 d u e , j c e , j \Tr_{\F_q/\F_p}(u_e c_e)
=
\sum_{j=1}^d u_{e,j}c_{e,j} Tr F q / F p ( u e c e ) = j = 1 ∑ d u e , j c e , j となるからです．
ここで
Φ β ( C ) ⊥ \Phi_\beta(C)^\perp Φ β ( C ) ⊥ の ⊥ {}^\perp ⊥ F p E × [ d ] \F_p^{E\times[d]} F p E × [ d ] F p \F_p F p
このとき
Φ β ∨ ( C ⊥ ) = Φ β ( C ) ⊥ \Phi_{\beta^{\vee}}(C^{\perp})
=
\Phi_{\beta}(C)^{\perp} Φ β ∨ ( C ⊥ ) = Φ β ( C ) ⊥ が従います． ここで，C C C β \beta β C ⊥ C^\perp C ⊥ β ∨ \beta^\vee β ∨ C = C ⊥ C=C^\perp C = C ⊥ Φ β ( C ) \Phi_\beta(C) Φ β ( C ) Φ β ∨ ( C ⊥ ) \Phi_{\beta^\vee}(C^\perp) Φ β ∨ ( C ⊥ ) u ⋅ c = 0 u \cdot c = 0 u ⋅ c = 0 0 0 0 Φ β ∨ ( u ) \Phi_{\beta^{\vee}}(u) Φ β ∨ ( u ) Φ β ( C ) \Phi_{\beta}(C) Φ β ( C ) c ∈ C c\in C c ∈ C Tr F q / F p ( u ⋅ c ) = 0 \Tr_{\F_{q}/\F_{p}}(u \cdot c) = 0 Tr F q / F p ( u ⋅ c ) = 0 C C C F q \F_{q} F q λ ∈ F q \lambda \in \F_{q} λ ∈ F q λ c ∈ C \lambda c \in C λ c ∈ C
Tr F q / F p ( λ ( u ⋅ c ) ) = 0 ( λ ∈ F q ) \Tr_{\F_{q}/\F_{p}}(\lambda (u \cdot c)) = 0
\qquad(\lambda \in \F_{q}) Tr F q / F p ( λ ( u ⋅ c )) = 0 ( λ ∈ F q ) が成り立ちます． トレース対の非退化性より，これは u ⋅ c = 0 u\cdot c=0 u ⋅ c = 0 u ∈ C ⊥ u\in C^\perp u ∈ C ⊥
ここから，本文で証明した構成法Aの双対定理を F p E × [ d ] \F_p^{E\times[d]} F p E × [ d ] p p p E × [ d ] E\times[d] E × [ d ] Φ β ( C ) \Phi_\beta(C) Φ β ( C ) Φ β ∨ ( C ⊥ ) \Phi_{\beta^\vee}(C^\perp) Φ β ∨ ( C ⊥ ) F p E × [ d ] \F_p^{E\times[d]} F p E × [ d ] p p p
Λ ( Φ β ( C ) ) ∗ = Λ ( Φ β ( C ) ⊥ ) = Λ ( Φ β ∨ ( C ⊥ ) ) \Lat\bigl(\Phi_\beta(C)\bigr)^\ast
=
\Lat\bigl(\Phi_\beta(C)^\perp\bigr)
=
\Lat\bigl(\Phi_{\beta^\vee}(C^\perp)\bigr) Λ ( Φ β ( C ) ) ∗ = Λ ( Φ β ( C ) ⊥ ) = Λ ( Φ β ∨ ( C ⊥ ) ) となります． この式が，一般の有限体でも双対符号を双対格子として見るための基本的な対応です．
一般の有限体上の一座標Fourier変換では，加法指標もトレースで書きます． 例えば a ∈ F q a \in \F_{q} a ∈ F q
χ a ( b ) = exp ( 2 π − 1 p Tr F q / F p ( a b ) ) \chi_{a}(b)
=
\exp\left(
\frac{2\pi\iu}{p}
\Tr_{\F_{q}/\F_{p}}(ab)
\right) χ a ( b ) = exp ( p 2 π − 1 Tr F q / F p ( ab ) ) とおけば，b ↦ χ a ( b ) b \mapsto \chi_{a}(b) b ↦ χ a ( b ) F q \F_{q} F q
ただし，通常のHamming重みは「ブロックが零か非零か」を数える重みであり， d n dn d n p p p F q \F_q F q F p d \F_p^d F p d R d \R^d R d ( 1 / p ) Z d (1/\sqrt p)\Z^d ( 1/ p ) Z d p d = q p^d=q p d = q a ∈ F q a\in\F_q a ∈ F q F q \F_q F q
もう一つの方法は，数体の整数環 O K \mathcal{O}_{K} O K p \mathfrak{p} p
O K / p ≅ F q \mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p} \cong \F_{q} O K / p ≅ F q を実現し，O K n \mathcal{O}_{K}^{n} O K n O K n \mathcal{O}_{K}^{n} O K n
したがって，格子・テータ関数による証明は，q = p q = p q = p q = p d q = p^{d} q = p d Z n \Z^{n} Z n p p p
§17 付録：Fourier変換とPoisson和公式の証明 この付録では，Fourier変換とPoisson和公式の要約 で定理文だけを述べた解析的事実の証明をまとめます． 主線の証明にはこの節の細部は使いません． 格子上のSchwartz級数の一様収束，格子周期関数のFourier展開，Fourier反転などを確認したい読者のための補足です． なお，格子周期関数のFourier展開では，多変数Fejér平均の一様収束を標準定理として用います．
証明 B B B c > 0 c>0 c > 0
∥ B m ∥ ≥ c ∥ m ∥ ( m ∈ Z n ) \norm{Bm}\geq c\norm{m}
\qquad(m\in\Z^n) ∥ B m ∥ ≥ c ∥ m ∥ ( m ∈ Z n ) が成り立つ． また，K K K M > 0 M>0 M > 0 ∥ x ∥ ≤ M \norm{x}\leq M ∥ x ∥ ≤ M x ∈ K x\in K x ∈ K
∥ x + B m ∥ ≥ c ∥ m ∥ − M ( x ∈ K ) \norm{x+Bm}
\geq
c\norm{m}-M
\qquad(x\in K) ∥ x + B m ∥ ≥ c ∥ m ∥ − M ( x ∈ K ) である． Schwartz関数の急減少性により，任意の N N N A β , N A_{\beta,N} A β , N m m m
sup x ∈ K ∣ ∂ β f ( x + B m ) ∣ ≤ A β , N ( 1 + ∥ m ∥ ) − N \sup_{x\in K}
\abs{\partial^\beta f(x+Bm)}
\leq
A_{\beta,N}(1+\norm{m})^{-N} x ∈ K sup ∂ β f ( x + B m ) ≤ A β , N ( 1 + ∥ m ∥ ) − N と評価できる． N > n N>n N > n m ∈ Z n m\in\Z^n m ∈ Z n K K K
証明終わり □
この補題により，格子上でSchwartz関数を足し上げた級数は絶対収束します． 直感的には，格子点数の増加は多項式的である一方， Schwartz関数は任意の多項式より速く減少するからです． ガウス関数はSchwartz関数なので，テータ級数も絶対収束します．
定理5.3（ガウス関数のFourier変換）． t > 0 t > 0 t > 0 f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f_{t}(x)=\e^{-\pi t\norm{x}^{2}} f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f t ^ ( y ) = t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t \what{f_t}(y)
=
t^{-n/2}\e^{-\pi \norm{y}^{2}/t} f t ( y ) = t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t が成り立つ．
証明 まず一次元の場合を示す．
I t ( y ) ≔ ∫ R e − π t x 2 e − 2 π − 1 x y d x I_{t}(y)
\coloneqq
\int_{\R}
\e^{-\pi t x^{2}}
\e^{-2\pi\iu xy}
\dd x I t ( y ) : = ∫ R e − π t x 2 e − 2 π − 1 x y d x とおく． x e − π t x 2 x\e^{-\pi t x^{2}} x e − π t x 2
I t ′ ( y ) = ∫ R ( − 2 π − 1 x ) e − π t x 2 e − 2 π − 1 x y d x = − 1 t ∫ R d d x ( e − π t x 2 ) e − 2 π − 1 x y d x . \begin{aligned}
I_{t}^{\prime}(y)
&=
\int_{\R}
(-2\pi\iu x)
\e^{-\pi t x^{2}}
\e^{-2\pi\iu xy}
\dd x \\
&=
\frac{\iu}{t}
\int_{\R}
\frac{\dd}{\dd x}\left(\e^{-\pi t x^{2}}\right)
\e^{-2\pi\iu xy}
\dd x.
\end{aligned} I t ′ ( y ) = ∫ R ( − 2 π − 1 x ) e − π t x 2 e − 2 π − 1 x y d x = t − 1 ∫ R d x d ( e − π t x 2 ) e − 2 π − 1 x y d x . 部分積分すると，ガウス関数の急減少性により境界項は消え，
I t ′ ( y ) = − − 1 t ∫ R e − π t x 2 d d x ( e − 2 π − 1 x y ) d x = − 2 π y t I t ( y ) \begin{aligned}
I_{t}^{\prime}(y)
&=
-\frac{\iu}{t}
\int_{\R}
\e^{-\pi t x^{2}}
\frac{\dd}{\dd x}
\left(\e^{-2\pi\iu xy}\right)
\dd x \\
&=
-\frac{2\pi y}{t} I_{t}(y)
\end{aligned} I t ′ ( y ) = − t − 1 ∫ R e − π t x 2 d x d ( e − 2 π − 1 x y ) d x = − t 2 π y I t ( y ) を得る． したがって
I t ( y ) = I t ( 0 ) e − π y 2 / t I_{t}(y)
=
I_{t}(0)\e^{-\pi y^{2}/t} I t ( y ) = I t ( 0 ) e − π y 2 / t である．
ここで，標準的なガウス積分を確認する．
A ≔ ∫ R e − π u 2 d u A
\coloneqq
\int_{\R}\e^{-\pi u^{2}}\dd u A : = ∫ R e − π u 2 d u とおく．被積分関数が非負なので，Tonelliの定理と極座標変換により
A 2 = ∫ R 2 e − π ( u 2 + v 2 ) d u d v = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − π r 2 r d r d θ = 1. \begin{aligned}
A^{2}
&=
\int_{\R^{2}}
\e^{-\pi(u^{2} + v^{2})}
\dd u \dd v \\
&=
\int_{0}^{2\pi}
\int_{0}^{\infty}
\e^{-\pi r^{2}} r
\dd r \dd\theta \\
&=
1.
\end{aligned} A 2 = ∫ R 2 e − π ( u 2 + v 2 ) d u d v = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − π r 2 r d r d θ = 1. A > 0 A > 0 A > 0 A = 1 A = 1 A = 1 u = t x u = \sqrt t\,x u = t x
I t ( 0 ) = ∫ R e − π t x 2 d x = t − 1 / 2 I_{t}(0)
=
\int_{\R} \e^{-\pi t x^{2}} \dd x
=
t^{-1/2} I t ( 0 ) = ∫ R e − π t x 2 d x = t − 1/2 であり，したがって
I t ( y ) = t − 1 / 2 e − π y 2 / t I_{t}(y)
=
t^{-1/2}\e^{-\pi y^{2}/t} I t ( y ) = t − 1/2 e − π y 2 / t を得る．
一般の n n n x = ( x 1 , … , x n ) x = (x_{1}, \dots, x_{n}) x = ( x 1 , … , x n ) y = ( y 1 , … , y n ) y = (y_{1}, \dots, y_{n}) y = ( y 1 , … , y n )
e − π t ∥ x ∥ 2 e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ = ∏ j = 1 n e − π t x j 2 e − 2 π − 1 x j y j \e^{-\pi t\norm{x}^2}
\e^{-2\pi\iu\inner{x}{y}}
=
\prod_{j=1}^{n}
\e^{-\pi t x_{j}^{2}}
\e^{-2\pi\iu x_{j} y_{j}} e − π t ∥ x ∥ 2 e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ = j = 1 ∏ n e − π t x j 2 e − 2 π − 1 x j y j である． この関数は絶対可積分なので，Fubiniの定理により
f t ^ ( y ) = ∏ j = 1 n I t ( y j ) = ∏ j = 1 n t − 1 / 2 e − π y j 2 / t = t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t \begin{aligned}
\what{f_t}(y)
&=
\prod_{j=1}^{n} I_{t}(y_{j}) \\
&=
\prod_{j=1}^{n}
t^{-1/2}\e^{-\pi y_{j}^{2}/t} \\
&=
t^{-n/2}\e^{-\pi\norm{y}^{2}/t}
\end{aligned} f t ( y ) = j = 1 ∏ n I t ( y j ) = j = 1 ∏ n t − 1/2 e − π y j 2 / t = t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t を得る．
証明終わり □
本稿では 定理5.3（ガウス関数のFourier変換）． t > 0 t > 0 t > 0 f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f_{t}(x)=\e^{-\pi t\norm{x}^{2}} f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f t ^ ( y ) = t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t \what{f_t}(y)
=
t^{-n/2}\e^{-\pi \norm{y}^{2}/t} f t ( y ) = t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t が成り立つ．
命題5.4（Schwartz空間上のFourier変換）． Fourier変換について，次が成り立つ．
f f f f ^ \what{f} f 上で採用したFourier変換の規約では
f ^ ^ ( x ) = f ( − x ) \what{\what{f}}(x) = f(-x) f ( x ) = f ( − x ) が成り立つ． したがって，Fourier変換はSchwartz関数の空間の 線形自己同型である． 一変数Schwartz関数 f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C
f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_{E}(x) = \prod_{e \in E} f(x_{e}) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) に対して，f E f_E f E R E \R^E R E
f E ^ ( y ) = ∏ e ∈ E f ^ ( y e ) \what{f_{E}}(y)
=
\prod_{e \in E} \what{f}(y_{e}) f E ( y ) = e ∈ E ∏ f ( y e ) が成り立つ．
証明 (1) f f f f ^ \what{f} f 多重指数 β ∈ Z ≥ 0 n \beta \in \Z_{\geq 0}^{n} β ∈ Z ≥ 0 n x β f ( x ) x^{\beta} f(x) x β f ( x )
∂ y β f ^ ( y ) = ( ( − 2 π − 1 x ) β f ) ^ ( y ) (17.1) \partial_{y}^{\beta} \what{f}(y)
=
\what{
\bigl((-2\pi\iu x)^{\beta} f \bigr)
}(y)
\tag{17.1} ∂ y β f ( y ) = ( ( − 2 π − 1 x ) β f ) ( y ) ( 17.1 ) を得る． ここで
( − 2 π − 1 x ) β = ∏ j = 1 n ( − 2 π − 1 x j ) β j (-2\pi\iu x)^{\beta}
=
\prod_{j=1}^{n}
(-2\pi\iu x_{j})^{\beta_{j}} ( − 2 π − 1 x ) β = j = 1 ∏ n ( − 2 π − 1 x j ) β j である．
一方，Schwartz関数 h h h α \alpha α
∂ α h ^ ( y ) = ( 2 π − 1 ) ∣ α ∣ 1 y α h ^ ( y ) (17.2) \what{\partial^{\alpha} h}(y)
=
(2 \pi \iu)^{\lvert\alpha\rvert_1}
y^{\alpha} \what{h}(y)
\tag{17.2} ∂ α h ( y ) = ( 2 π − 1 ) ∣ α ∣ 1 y α h ( y ) ( 17.2 ) が成り立つ． Schwartz関数はすべての偏微分とともに急速に減少するため， 部分積分の境界項はすべて 0 0 0
∂ y β f ^ ( y ) = ( ( − 2 π − 1 x ) β f ) ^ ( y ) (17.1) \partial_{y}^{\beta} \what{f}(y)
=
\what{
\bigl((-2\pi\iu x)^{\beta} f \bigr)
}(y)
\tag{17.1} ∂ y β f ( y ) = ( ( − 2 π − 1 x ) β f ) ( y ) ( 17.1 ) ∂ α h ^ ( y ) = ( 2 π − 1 ) ∣ α ∣ 1 y α h ^ ( y ) (17.2) \what{\partial^{\alpha} h}(y)
=
(2 \pi \iu)^{\lvert\alpha\rvert_1}
y^{\alpha} \what{h}(y)
\tag{17.2} ∂ α h ( y ) = ( 2 π − 1 ) ∣ α ∣ 1 y α h ( y ) ( 17.2 ) α \alpha α β \beta β
y α ∂ y β f ^ ( y ) = ( 2 π − 1 ) − ∣ α ∣ 1 ∂ α ( ( − 2 π − 1 x ) β f ) ^ ( y ) y^{\alpha} \partial_{y}^{\beta} \what{f}(y)
=
(2\pi\iu)^{-\lvert\alpha\rvert_1}
\what{
\partial^{\alpha}
\bigl((-2\pi\iu x)^{\beta} f \bigr)
}(y) y α ∂ y β f ( y ) = ( 2 π − 1 ) − ∣ α ∣ 1 ∂ α ( ( − 2 π − 1 x ) β f ) ( y ) となる． Fourier変換の定義から，絶対可積分な関数 g g g
∣ g ^ ( y ) ∣ ≤ ∫ R n ∣ g ( x ) ∣ d x \abs{\what{g}(y)}
\leq
\int_{\R^{n}} \abs{g(x)} \dd x ∣ g ( y ) ∣ ≤ ∫ R n ∣ g ( x ) ∣ d x である．したがって
∣ y α ∂ y β f ^ ( y ) ∣ ≤ ( 2 π ) − ∣ α ∣ 1 ∫ R n ∣ ∂ α ( ( − 2 π − 1 x ) β f ( x ) ) ∣ d x . \abs{
y^{\alpha} \partial_{y}^{\beta} \what{f}(y)
}
\leq
(2\pi)^{-\lvert\alpha\rvert_1}
\int_{\R^{n}}
\abs{
\partial^{\alpha}
\bigl((-2\pi\iu x)^{\beta} f(x)\bigr)
}
\dd x. y α ∂ y β f ( y ) ≤ ( 2 π ) − ∣ α ∣ 1 ∫ R n ∂ α ( ( − 2 π − 1 x ) β f ( x ) ) d x . 右辺は有限であり，y y y
sup y ∈ R n ∣ y α ∂ y β f ^ ( y ) ∣ < ∞ \sup_{y \in \R^{n}}
\abs{
y^{\alpha} \partial_{y}^{\beta} \what{f}(y)
}
< \infty y ∈ R n sup y α ∂ y β f ( y ) < ∞ である． α \alpha α β \beta β f ^ \what{f} f
(2) 上で採用したFourier変換の規約では
f ^ ^ ( x ) = f ( − x ) \what{\what{f}}(x) = f(-x) f ( x ) = f ( − x ) が成り立つ． 次に第2項を示す． ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0
G ε ( y ) ≔ e − π ε ∥ y ∥ 2 G_{\varepsilon}(y)
\coloneqq
\e^{-\pi\varepsilon\norm{y}^{2}} G ε ( y ) : = e − π ε ∥ y ∥ 2 とおき，
I ε ( x ) ≔ ∫ R n f ^ ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ G ε ( y ) d y I_{\varepsilon}(x)
\coloneqq
\int_{\R^{n}}
\what{f}(y)
\e^{2\pi\iu\inner{x}{y}}
G_{\varepsilon}(y)
\dd y I ε ( x ) : = ∫ R n f ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ G ε ( y ) d y と定める． 第1項より f ^ \what{f} f 0 < G ε ( y ) ≤ 1 0 < G_{\varepsilon}(y) \leq 1 0 < G ε ( y ) ≤ 1
lim ε ↓ 0 I ε ( x ) = ∫ R n f ^ ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y (17.3) \lim_{\varepsilon \downarrow 0} I_{\varepsilon}(x)
=
\int_{\R^{n}}
\what{f}(y)
\e^{2\pi\iu\inner{x}{y}}
\dd y
\tag{17.3} ε ↓ 0 lim I ε ( x ) = ∫ R n f ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y ( 17.3 ) である．
Fourier変換の定義を代入すると
I ε ( x ) = ∫ R n ∫ R n f ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ u , y ⟩ e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ G ε ( y ) d u d y . \begin{aligned}
I_{\varepsilon}(x)
&=
\int_{\R^{n}}
\int_{\R^{n}}
f(u)
\e^{-2\pi\iu\inner{u}{y}}
\e^{2\pi\iu\inner{x}{y}}
G_{\varepsilon}(y)
\dd u\dd y.
\end{aligned} I ε ( x ) = ∫ R n ∫ R n f ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ u , y ⟩ e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ G ε ( y ) d u d y . ここで
∫ R n ∣ f ( u ) ∣ d u ∫ R n G ε ( y ) d y < ∞ \int_{\R^{n}} \abs{f(u)} \dd u
\int_{\R^{n}} G_{\varepsilon}(y) \dd y
< \infty ∫ R n ∣ f ( u ) ∣ d u ∫ R n G ε ( y ) d y < ∞ なので，Fubiniの定理を適用できる． 積分の順序を交換し， 定理5.3（ガウス関数のFourier変換）． t > 0 t > 0 t > 0 f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f_{t}(x)=\e^{-\pi t\norm{x}^{2}} f t ( x ) = e − π t ∥ x ∥ 2 f t ^ ( y ) = t − n / 2 e − π ∥ y ∥ 2 / t \what{f_t}(y)
=
t^{-n/2}\e^{-\pi \norm{y}^{2}/t} f t ( y ) = t − n /2 e − π ∥ y ∥ 2 / t が成り立つ．
I ε ( x ) = ∫ R n f ( u ) ( ∫ R n G ε ( y ) e − 2 π − 1 ⟨ u − x , y ⟩ d y ) d u = ∫ R n f ( u ) ε − n / 2 e − π ∥ u − x ∥ 2 / ε d u . \begin{aligned}
I_{\varepsilon}(x)
&=
\int_{\R^{n}}
f(u)
\left(
\int_{\R^{n}}
G_{\varepsilon}(y)
\e^{-2\pi\iu\inner{u-x}{y}}
\dd y
\right)
\dd u \\
&=
\int_{\R^{n}}
f(u)
\varepsilon^{-n/2}
\e^{-\pi\norm{u - x}^{2}/\varepsilon}
\dd u.
\end{aligned} I ε ( x ) = ∫ R n f ( u ) ( ∫ R n G ε ( y ) e − 2 π − 1 ⟨ u − x , y ⟩ d y ) d u = ∫ R n f ( u ) ε − n /2 e − π ∥ u − x ∥ 2 / ε d u . 変数変換 u = x + ε v u = x + \sqrt{\varepsilon}\, v u = x + ε v
I ε ( x ) = ∫ R n f ( x + ε v ) e − π ∥ v ∥ 2 d v I_{\varepsilon}(x)
=
\int_{\R^{n}}
f(x + \sqrt{\varepsilon}\,v)
\e^{-\pi\norm{v}^{2}}
\dd v I ε ( x ) = ∫ R n f ( x + ε v ) e − π ∥ v ∥ 2 d v となる． Schwartz関数 f f f e − π ∥ v ∥ 2 \e^{-\pi\norm{v}^{2}} e − π ∥ v ∥ 2 ∫ R e − π u 2 d u = 1 \int_{\R}\e^{-\pi u^2}\dd u=1 ∫ R e − π u 2 d u = 1 ∫ R n e − π ∥ v ∥ 2 d v = 1 \int_{\R^n}\e^{-\pi\norm{v}^{2}}\dd v=1 ∫ R n e − π ∥ v ∥ 2 d v = 1
lim ε ↓ 0 I ε ( x ) = f ( x ) ∫ R n e − π ∥ v ∥ 2 d v = f ( x ) . \begin{aligned}
\lim_{\varepsilon \downarrow 0} I_{\varepsilon}(x)
&=
f(x)
\int_{\R^{n}} \e^{-\pi\norm{v}^{2}} \dd v \\
&=
f(x).
\end{aligned} ε ↓ 0 lim I ε ( x ) = f ( x ) ∫ R n e − π ∥ v ∥ 2 d v = f ( x ) . これと lim ε ↓ 0 I ε ( x ) = ∫ R n f ^ ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y (17.3) \lim_{\varepsilon \downarrow 0} I_{\varepsilon}(x)
=
\int_{\R^{n}}
\what{f}(y)
\e^{2\pi\iu\inner{x}{y}}
\dd y
\tag{17.3} ε ↓ 0 lim I ε ( x ) = ∫ R n f ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y ( 17.3 )
f ( x ) = ∫ R n f ^ ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y (17.4) f(x)
=
\int_{\R^{n}}
\what{f}(y)
\e^{2 \pi \iu\inner{x}{y}}
\dd y
\tag{17.4} f ( x ) = ∫ R n f ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y ( 17.4 ) を得る． f ( x ) = ∫ R n f ^ ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y (17.4) f(x)
=
\int_{\R^{n}}
\what{f}(y)
\e^{2 \pi \iu\inner{x}{y}}
\dd y
\tag{17.4} f ( x ) = ∫ R n f ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d y ( 17.4 ) x x x − x -x − x
f ^ ^ ( x ) = ∫ R n f ^ ( y ) e − 2 π − 1 ⟨ y , x ⟩ d y = f ( − x ) \begin{aligned}
\what{\what{f}}(x)
&=
\int_{\R^{n}}
\what{f}(y)
\e^{-2\pi\iu\inner{y}{x}}
\dd y \\
&=
f(-x)
\end{aligned} f ( x ) = ∫ R n f ( y ) e − 2 π − 1 ⟨ y , x ⟩ d y = f ( − x ) となり，所望の結果が得られる．
(3) したがって，Fourier変換はSchwartz関数の空間の 線形自己同型である． Fourier変換を F \mathcal{F} F ( R f ) ( x ) = f ( − x ) (Rf)(x) = f(-x) ( R f ) ( x ) = f ( − x ) F 2 = R \mathcal{F}^{2} = R F 2 = R R 2 R^{2} R 2
F 4 = ( F 2 ) 2 = R 2 = id \mathcal{F}^{4}
= (\mathcal{F}^{2})^{2}
= R^{2}
= \id F 4 = ( F 2 ) 2 = R 2 = id である． したがって F − 1 = F 3 \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{F}^{3} F − 1 = F 3
(4) 一変数Schwartz関数 f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C
f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_{E}(x) = \prod_{e \in E} f(x_{e}) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) に対して，f E f_E f E R E \R^E R E
f E ^ ( y ) = ∏ e ∈ E f ^ ( y e ) \what{f_{E}}(y)
=
\prod_{e \in E} \what{f}(y_{e}) f E ( y ) = e ∈ E ∏ f ( y e ) が成り立つ． 各座標に関する微分と多項式倍を考えれば， f E f_{E} f E R E \R^{E} R E
∫ R E ∏ e ∈ E ∣ f ( x e ) ∣ d x = ( ∫ R ∣ f ( u ) ∣ d u ) # E < ∞ \int_{\R^{E}}
\prod_{e \in E}\abs{f(x_{e})}
\dd x
=
\left(
\int_{\R}\abs{f(u)} \dd u
\right)^{\card{E}}
<\infty ∫ R E e ∈ E ∏ ∣ f ( x e ) ∣ d x = ( ∫ R ∣ f ( u ) ∣ d u ) # E < ∞ なので，Fubiniの定理を適用できる． よって
f E ^ ( y ) = ∫ R E ∏ e ∈ E f ( x e ) e − 2 π − 1 ∑ e ∈ E x e y e d x = ∫ R E ∏ e ∈ E ( f ( x e ) e − 2 π − 1 x e y e ) d x = ∏ e ∈ E ∫ R f ( x e ) e − 2 π − 1 x e y e d x e = ∏ e ∈ E f ^ ( y e ) \begin{aligned}
\what{f_{E}}(y)
&=
\int_{\R^{E}}
\prod_{e \in E} f(x_{e})
\e^{-2 \pi \iu\sum_{e \in E} x_{e} y_{e}}
\dd x \\
&=
\int_{\R^{E}}
\prod_{e \in E}
\left(
f(x_{e}) \e^{-2\pi\iu x_{e} y_{e}}
\right)
\dd x \\
&=
\prod_{e \in E}
\int_{\R}
f(x_{e}) \e^{-2\pi\iu x_{e} y_{e}}
\dd x_{e} \\
&=
\prod_{e \in E} \what{f}(y_{e})
\end{aligned} f E ( y ) = ∫ R E e ∈ E ∏ f ( x e ) e − 2 π − 1 ∑ e ∈ E x e y e d x = ∫ R E e ∈ E ∏ ( f ( x e ) e − 2 π − 1 x e y e ) d x = e ∈ E ∏ ∫ R f ( x e ) e − 2 π − 1 x e y e d x e = e ∈ E ∏ f ( y e ) となる．
証明終わり □
補題17.2（格子周期関数のFourier展開）．
Λ = B Z n \Lat = B\Z^{n} Λ = B Z n
P = B [ 0 , 1 ) n , V = ∣ det B ∣ \mathcal{P}=B[0,1)^{n},
\qquad
V=\abs{\det B} P = B [ 0 , 1 ) n , V = ∣ det B ∣ とおく．このとき Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n \Lat^{\ast}=(B^{\top})^{-1}\Z^{n} Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n Λ \Lat Λ H : R n → C H\colon\R^{n}\to\C H : R n → C
c y ≔ V − 1 ∫ P H ( x ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x ( y ∈ Λ ∗ ) c_y
\coloneqq
V^{-1}
\int_{\mathcal P}
H(x)\e^{-2\pi\iu\inner{x}{y}}\dd x
\qquad(y\in\Lat^{\ast}) c y : = V − 1 ∫ P H ( x ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x ( y ∈ Λ ∗ ) と定めると，
H ( x ) = ∑ y ∈ Λ ∗ c y e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ H(x)
=
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}
c_y \e^{2\pi\iu\inner{x}{y}} H ( x ) = y ∈ Λ ∗ ∑ c y e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ が成り立つ．この級数は絶対かつ一様に収束する．
証明 h ( u ) = H ( B u ) h(u)=H(Bu) h ( u ) = H ( B u ) h h h R n / Z n \R^{n}/\Z^{n} R n / Z n y = ( B ⊤ ) − 1 m y=(B^{\top})^{-1}m y = ( B ⊤ ) − 1 m m ∈ Z n m\in\Z^{n} m ∈ Z n x = B u x=Bu x = B u
c y = ∫ [ 0 , 1 ) n h ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ m , u ⟩ d u c_y
=
\int_{[0,1)^{n}}
h(u)\e^{-2\pi\iu\inner{m}{u}}\dd u c y = ∫ [ 0 , 1 ) n h ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ m , u ⟩ d u となる．したがって，問題は標準トーラス上のFourier級数に帰着する．
標準トーラス上で，滑らかな周期関数のFourier係数は任意の多項式次数より速く減少する． 実際，
Δ ≔ ∑ j = 1 n ∂ 2 ∂ u j 2 \Delta \coloneqq \sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial u_{j}^{2}} Δ : = j = 1 ∑ n ∂ u j 2 ∂ 2 とおく．任意の非負整数 N N N
( 1 + 4 π 2 ∥ m ∥ 2 ) N c ( B ⊤ ) − 1 m = ∫ [ 0 , 1 ) n ( 1 − Δ ) N h ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ m , u ⟩ d u (1+4\pi^{2}\norm{m}^{2})^{N}
c_{(B^{\top})^{-1}m}
=
\int_{[0,1)^{n}}
(1-\Delta)^{N}h(u)
\e^{-2\pi\iu\inner{m}{u}}\dd u ( 1 + 4 π 2 ∥ m ∥ 2 ) N c ( B ⊤ ) − 1 m = ∫ [ 0 , 1 ) n ( 1 − Δ ) N h ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ m , u ⟩ d u となる．周期性により境界項は相殺される． 右辺は m m m A N A_N A N
∣ c ( B ⊤ ) − 1 m ∣ ≤ A N ( 1 + ∥ m ∥ 2 ) − N \abs{c_{(B^{\top})^{-1}m}}
\leq
A_N(1+\norm{m}^{2})^{-N} c ( B ⊤ ) − 1 m ≤ A N ( 1 + ∥ m ∥ 2 ) − N である．N > n / 2 N>n/2 N > n /2 m ∈ Z n m\in\Z^{n} m ∈ Z n
あとは，この一様収束級数が元の関数に一致することを確認すればよい． ここでは，標準トーラス上のFourier級数に関する標準定理として， 一変数Fejér核の積で作る多変数Fejér核が近似恒等族をなすこと， および連続周期関数のFejér平均が一様収束することを用いる． 一方，Fejér平均はFourier係数から作られる有限和である． Fourier係数が絶対可算であるため，Fejér平均は通常のFourier級数にも一様に収束する． よってFourier級数は h h h x = B u x=Bu x = B u
証明終わり □
定理5.5（Poisson和公式）． Λ ⊆ R n \Lat\subseteq\R^{n} Λ ⊆ R n f : R n → C f\colon\R^{n}\to\C f : R n → C ∑ x ∈ Λ f ( x ) = 1 vol ( R n / Λ ) ∑ y ∈ Λ ∗ f ^ ( y ) (5.1) \sum_{x\in\Lat}f(x)
=
\frac{1}{\vol(\R^{n}/\Lat)}
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}\what{f}(y)
\tag{5.1} x ∈ Λ ∑ f ( x ) = vol ( R n /Λ ) 1 y ∈ Λ ∗ ∑ f ( y ) ( 5.1 ) が成り立つ．
証明 Λ = B Z n \Lat=B\Z^{n} Λ = B Z n
P = B [ 0 , 1 ) n , P ‾ = B [ 0 , 1 ] n , V = vol ( R n / Λ ) = ∣ det B ∣ \mathcal P=B[0,1)^{n},
\qquad
\overline{\mathcal P}=B[0,1]^n,
\qquad
V=\vol(\R^{n}/\Lat)=\abs{\det B} P = B [ 0 , 1 ) n , P = B [ 0 , 1 ] n , V = vol ( R n /Λ ) = ∣ det B ∣ とおく． Schwartz関数 f f f
P f ( x ) ≔ ∑ λ ∈ Λ f ( x + λ ) P_{f}(x)
\coloneqq
\sum_{\lambda \in \Lat} f(x + \lambda) P f ( x ) : = λ ∈ Λ ∑ f ( x + λ ) と定める． これは明らかに Λ \Lat Λ 補題17.1（格子上のSchwartz級数の一様収束）． Λ = B Z n \Lat=B\Z^n Λ = B Z n K ⊆ R n K\subseteq\R^n K ⊆ R n f f f β \beta β ∑ m ∈ Z n ∂ β f ( x + B m ) \sum_{m\in\Z^n}\partial^\beta f(x+Bm) m ∈ Z n ∑ ∂ β f ( x + B m ) は x ∈ K x\in K x ∈ K
∑ λ ∈ Λ ∣ f ( λ ) ∣ \sum_{\lambda\in\Lat}\abs{f(\lambda)} λ ∈ Λ ∑ ∣ f ( λ ) ∣ は収束する． さらに，周期化した級数
∑ λ ∈ Λ f ( x + λ ) \sum_{\lambda\in\Lat}f(x+\lambda) λ ∈ Λ ∑ f ( x + λ ) は滑らかであり，項別微分できる． K = P ‾ K=\overline{\mathcal P} K = P P ‾ \overline{\mathcal P} P P \mathcal P P P \mathcal P P
補題17.2（格子周期関数のFourier展開）． Λ = B Z n \Lat = B\Z^{n} Λ = B Z n P = B [ 0 , 1 ) n , V = ∣ det B ∣ \mathcal{P}=B[0,1)^{n},
\qquad
V=\abs{\det B} P = B [ 0 , 1 ) n , V = ∣ det B ∣ とおく．このとき Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n \Lat^{\ast}=(B^{\top})^{-1}\Z^{n} Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n Λ \Lat Λ H : R n → C H\colon\R^{n}\to\C H : R n → C
c y ≔ V − 1 ∫ P H ( x ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x ( y ∈ Λ ∗ ) c_y
\coloneqq
V^{-1}
\int_{\mathcal P}
H(x)\e^{-2\pi\iu\inner{x}{y}}\dd x
\qquad(y\in\Lat^{\ast}) c y : = V − 1 ∫ P H ( x ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x ( y ∈ Λ ∗ ) と定めると，
H ( x ) = ∑ y ∈ Λ ∗ c y e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ H(x)
=
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}
c_y \e^{2\pi\iu\inner{x}{y}} H ( x ) = y ∈ Λ ∗ ∑ c y e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ が成り立つ．この級数は絶対かつ一様に収束する． P f P_f P f y ∈ Λ ∗ y\in\Lat^{\ast} y ∈ Λ ∗
c y = V − 1 ∫ P ∑ λ ∈ Λ f ( x + λ ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x . \begin{aligned}
c_y
&=
V^{-1}
\int_{\mathcal P}
\sum_{\lambda\in\Lat}
f(x+\lambda)
\e^{-2\pi\iu\inner{x}{y}}\dd x .
\end{aligned} c y = V − 1 ∫ P λ ∈ Λ ∑ f ( x + λ ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x . 基本領域上で一様絶対収束するので，和と積分を交換できる． すると
c y = V − 1 ∑ λ ∈ Λ ∫ P f ( x + λ ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x . \begin{aligned}
c_y
&=
V^{-1}
\sum_{\lambda\in\Lat}
\int_{\mathcal P}
f(x+\lambda)
\e^{-2\pi\iu\inner{x}{y}}\dd x .
\end{aligned} c y = V − 1 λ ∈ Λ ∑ ∫ P f ( x + λ ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x . ここで u = x + λ u=x+\lambda u = x + λ y ∈ Λ ∗ y\in\Lat^{\ast} y ∈ Λ ∗ ⟨ λ , y ⟩ ∈ Z \inner{\lambda}{y}\in\Z ⟨ λ , y ⟩ ∈ Z
e 2 π − 1 ⟨ λ , y ⟩ = 1 \e^{2\pi\iu\inner{\lambda}{y}}=1 e 2 π − 1 ⟨ λ , y ⟩ = 1 である．よって
c y = V − 1 ∑ λ ∈ Λ ∫ P + λ f ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ u , y ⟩ d u . \begin{aligned}
c_y
&=
V^{-1}
\sum_{\lambda\in\Lat}
\int_{\mathcal P+\lambda}
f(u)
\e^{-2\pi\iu\inner{u}{y}}\dd u .
\end{aligned} c y = V − 1 λ ∈ Λ ∑ ∫ P + λ f ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ u , y ⟩ d u . 半開基本領域を使っているので， 集合族 { P + λ : λ ∈ Λ } \{\mathcal P+\lambda:\lambda\in\Lat\} { P + λ : λ ∈ Λ } R n \R^n R n
c y = V − 1 ∫ R n f ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ u , y ⟩ d u = V − 1 f ^ ( y ) . c_y
=
V^{-1}
\int_{\R^{n}}
f(u)\e^{-2\pi\iu\inner{u}{y}}\dd u
=
V^{-1}\what{f}(y). c y = V − 1 ∫ R n f ( u ) e − 2 π − 1 ⟨ u , y ⟩ d u = V − 1 f ( y ) . 命題5.4（Schwartz空間上のFourier変換）． Fourier変換について，次が成り立つ．
f f f f ^ \what{f} f 上で採用したFourier変換の規約では
f ^ ^ ( x ) = f ( − x ) \what{\what{f}}(x) = f(-x) f ( x ) = f ( − x ) が成り立つ． したがって，Fourier変換はSchwartz関数の空間の 線形自己同型である． 一変数Schwartz関数 f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C
f E ( x ) = ∏ e ∈ E f ( x e ) f_{E}(x) = \prod_{e \in E} f(x_{e}) f E ( x ) = e ∈ E ∏ f ( x e ) に対して，f E f_E f E R E \R^E R E
f E ^ ( y ) = ∏ e ∈ E f ^ ( y e ) \what{f_{E}}(y)
=
\prod_{e \in E} \what{f}(y_{e}) f E ( y ) = e ∈ E ∏ f ( y e ) が成り立つ． f ^ \what{f} f ∑ y ∈ Λ ∗ f ^ ( y ) \sum_{y\in\Lat^{\ast}}\what{f}(y) ∑ y ∈ Λ ∗ f ( y ) 補題17.2（格子周期関数のFourier展開）． Λ = B Z n \Lat = B\Z^{n} Λ = B Z n P = B [ 0 , 1 ) n , V = ∣ det B ∣ \mathcal{P}=B[0,1)^{n},
\qquad
V=\abs{\det B} P = B [ 0 , 1 ) n , V = ∣ det B ∣ とおく．このとき Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n \Lat^{\ast}=(B^{\top})^{-1}\Z^{n} Λ ∗ = ( B ⊤ ) − 1 Z n Λ \Lat Λ H : R n → C H\colon\R^{n}\to\C H : R n → C
c y ≔ V − 1 ∫ P H ( x ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x ( y ∈ Λ ∗ ) c_y
\coloneqq
V^{-1}
\int_{\mathcal P}
H(x)\e^{-2\pi\iu\inner{x}{y}}\dd x
\qquad(y\in\Lat^{\ast}) c y : = V − 1 ∫ P H ( x ) e − 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ d x ( y ∈ Λ ∗ ) と定めると，
H ( x ) = ∑ y ∈ Λ ∗ c y e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ H(x)
=
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}
c_y \e^{2\pi\iu\inner{x}{y}} H ( x ) = y ∈ Λ ∗ ∑ c y e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ が成り立つ．この級数は絶対かつ一様に収束する．
P f ( x ) = 1 V ∑ y ∈ Λ ∗ f ^ ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ P_f(x)
=
\frac{1}{V}
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}
\what{f}(y)
\e^{2\pi\iu\inner{x}{y}} P f ( x ) = V 1 y ∈ Λ ∗ ∑ f ( y ) e 2 π − 1 ⟨ x , y ⟩ が成り立つ． 最後に x = 0 x=0 x = 0
∑ λ ∈ Λ f ( λ ) = 1 V ∑ y ∈ Λ ∗ f ^ ( y ) \sum_{\lambda\in\Lat}f(\lambda)
=
\frac{1}{V}
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}\what{f}(y) λ ∈ Λ ∑ f ( λ ) = V 1 y ∈ Λ ∗ ∑ f ( y ) である．これは ∑ x ∈ Λ f ( x ) = 1 vol ( R n / Λ ) ∑ y ∈ Λ ∗ f ^ ( y ) (5.1) \sum_{x\in\Lat}f(x)
=
\frac{1}{\vol(\R^{n}/\Lat)}
\sum_{y\in\Lat^{\ast}}\what{f}(y)
\tag{5.1} x ∈ Λ ∑ f ( x ) = vol ( R n /Λ ) 1 y ∈ Λ ∗ ∑ f ( y ) ( 5.1 )
証明終わり □
系5.6（平行移動版Poisson和公式）． f : R → C f \colon \R \to \C f : R → C h > 0 h > 0 h > 0 x 0 ∈ R x_{0} \in \R x 0 ∈ R ∑ r ∈ Z f ( x 0 + r h ) = 1 h ∑ s ∈ Z exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ^ ( s / h ) (5.2) \sum_{r \in \Z} f(x_{0} + rh)
=
\frac{1}{h}
\sum_{s \in \Z}
\exp(2\pi\iu\,s x_{0}/h)\,
\what{f}(s/h)
\tag{5.2} r ∈ Z ∑ f ( x 0 + r h ) = h 1 s ∈ Z ∑ exp ( 2 π − 1 s x 0 / h ) f ( s / h ) ( 5.2 ) が成り立つ．
証明 g ( x ) = f ( x + x 0 ) g(x) = f(x + x_{0}) g ( x ) = f ( x + x 0 ) u = x + x 0 u = x + x_{0} u = x + x 0
g ^ ( y ) = exp ( 2 π − 1 x 0 y ) f ^ ( y ) \what{g}(y)
= \exp(2\pi\iu\,x_{0} y) \what{f}(y) g ( y ) = exp ( 2 π − 1 x 0 y ) f ( y ) である．格子 h Z h\Z h Z
∑ r ∈ Z g ( r h ) = 1 h ∑ s ∈ Z g ^ ( s / h ) \sum_{r \in \Z} g(rh)
=
\frac{1}{h}
\sum_{s \in \Z} \what{g}(s/h) r ∈ Z ∑ g ( r h ) = h 1 s ∈ Z ∑ g ( s / h ) となる． 左辺は ∑ r ∈ Z f ( x 0 + r h ) \sum_{r \in \Z} f(x_{0} + rh) ∑ r ∈ Z f ( x 0 + r h )
証明終わり □
§18 次回へ ここまでで，本稿の主張である格子・テータ関数から見たMacWilliams恒等式の導出は完結しています． 以下は連載上の予告です．
次回は，MacWilliams恒等式をゼータ関数とRiemann–Roch型の視点から見ます． 今回の証明では，符号から格子を作り，ガウス関数では格子テータ関数の変換公式を得て， 任意のSchwartz関数では完全重み多項式版MacWilliams恒等式を取り出しました． 次回は，符号にゼータ関数を付随させ，その関数等式やRiemann–Roch型の次元公式の側からMacWilliams恒等式を見ます．
次回の主役は，
符号のゼータ関数 → Riemann–Roch型公式 → 関数等式 → MacWilliams恒等式
です． 同じMacWilliams恒等式であっても， 次回は格子のPoisson和公式ではなく，数論的な関数等式の姿が見えてきます．
参考文献 [CS99] J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere packings, lattices and groups . Springer-Verlag, New York, vol. 290, pp. lxxiv+703, 1999. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7 引用箇所 構成法Aと符号・格子の関係については Conway–Sloane [CS99] や Ebeling [Ebe94] が標準的な参考文献です． 格子とテータ関数，Poisson和公式については Serre [Ser73] も古典的で読みやすい文献です． 二元符号の重み多項式と格子テータ関数の関係を扱う 先駆的な文献としては Broué–Enguehard [BE72] があります． p p p [Key12] があります． 本稿ではこれらの一般論をすべて展開するのではなく， 必要な解析的標準事実を明記した上で扱う F p \F_{p} F p F p d \F_{p^{d}} F p d [Ebe94] Wolfgang Ebeling. Lattices and codes . Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, pp. xvi+178, 1994. doi:10.1007/978-3-322-96879-1 引用箇所 構成法Aと符号・格子の関係については Conway–Sloane [CS99] や Ebeling [Ebe94] が標準的な参考文献です． 格子とテータ関数，Poisson和公式については Serre [Ser73] も古典的で読みやすい文献です． 二元符号の重み多項式と格子テータ関数の関係を扱う 先駆的な文献としては Broué–Enguehard [BE72] があります． p p p [Key12] があります． 本稿ではこれらの一般論をすべて展開するのではなく， 必要な解析的標準事実を明記した上で扱う F p \F_{p} F p F p d \F_{p^{d}} F p d [Ser73] J.-P. Serre. A course in arithmetic . Springer-Verlag, New York-Heidelberg, vol. No. 7, pp. viii+115, 1973 引用箇所 構成法Aと符号・格子の関係については Conway–Sloane [CS99] や Ebeling [Ebe94] が標準的な参考文献です． 格子とテータ関数，Poisson和公式については Serre [Ser73] も古典的で読みやすい文献です． 二元符号の重み多項式と格子テータ関数の関係を扱う 先駆的な文献としては Broué–Enguehard [BE72] があります． p p p [Key12] があります． 本稿ではこれらの一般論をすべて展開するのではなく， 必要な解析的標準事実を明記した上で扱う F p \F_{p} F p F p d \F_{p^{d}} F p d [BE72] Michel Broué and Michel Enguehard. Polynômes des poids de certains codes et fonctions thêta de certains réseaux . Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), vol. 5, pp. 157–181, 1972. http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1972_4_5_1_157_0 引用箇所 構成法Aと符号・格子の関係については Conway–Sloane [CS99] や Ebeling [Ebe94] が標準的な参考文献です． 格子とテータ関数，Poisson和公式については Serre [Ser73] も古典的で読みやすい文献です． 二元符号の重み多項式と格子テータ関数の関係を扱う 先駆的な文献としては Broué–Enguehard [BE72] があります． p p p [Key12] があります． 本稿ではこれらの一般論をすべて展開するのではなく， 必要な解析的標準事実を明記した上で扱う F p \F_{p} F p F p d \F_{p^{d}} F p d [Key12] David Keyes. F_p-codes, theta functions and the Hamming weight MacWilliams identity . Adv. Math. Commun., vol. 6, no. 4, pp. 401–418, 2012. doi:10.3934/amc.2012.6.401 引用箇所 構成法Aと符号・格子の関係については Conway–Sloane [CS99] や Ebeling [Ebe94] が標準的な参考文献です． 格子とテータ関数，Poisson和公式については Serre [Ser73] も古典的で読みやすい文献です． 二元符号の重み多項式と格子テータ関数の関係を扱う 先駆的な文献としては Broué–Enguehard [BE72] があります． p p p [Key12] があります． 本稿ではこれらの一般論をすべて展開するのではなく， 必要な解析的標準事実を明記した上で扱う F p \F_{p} F p F p d \F_{p^{d}} F p d [Nis01] Shigeto Nishimura. Duality of codes and theta functions . Sci. Math. Jpn., vol. 53, no. 1, pp. 113–118, 2001 引用箇所 になります． この例は，ガウス関数による通常の一変数格子テータ関数が，記号 1 1 1 2 = − 1 2=-1 2 = − 1 p p p [Nis01] にも見られます． 本稿では，この形式変数への移行を， 任意の評価点を実現するSchwartz関数の構成として具体化します． したがって，ガウス関数による格子テータ関数の変換公式は， 後で示す完全重み多項式版MacWilliams恒等式の特殊化と見るのが正確です．