一般化線型空間と有限型マトロイド

alg-d氏の動画で，一般化線型空間という概念を知りました． ^{脚注¹私が知ったきっかけは， alg-d氏の動画 [Alg] です． 対応する記事およびPDF版として [Algb; Alg14] が公開されています． 動画の概要欄および記事では，参考文献として Bleicher [Ble64] が挙げられています．1} 最初に定義を眺めたとき，これはマトロイドの閉包作用素の公理にかなり近いのではないか， という印象を受けました．

実際，一般化線型空間の定義に現れる関係 $X \Subset Y$ は， 「$X$ は $Y$ から生成される」あるいは「$X$ は $Y$ によって張られる」 という関係だと読むことができます． 線型空間であれば

と考えればよいわけです．

一方，マトロイドにも閉包作用素

による定義があり，$x \in \cl(A)$ は 「$x$ は $A$ から生成される」と解釈できます． 特に線形マトロイドでは，これは 「$x$ に対応するベクトルが $A$ に対応するベクトルたちの張る空間に入っている」 という条件そのものです．

そこで本稿では，一般化線型空間をマトロイドの閉包作用素の言葉で書き直します． 結論を先に言うと，一般化線型空間は， 閉包作用素で定義された有限型マトロイド (finitary matroid)，あるいは 前幾何 (pregeometry) と本質的に同じものです． ただし，「無限マトロイド」という言葉を現代的な意味で使う場合， 一般化線型空間はその全体ではなく， 無限サーキットを持たない有限型の部分クラスに対応します．

なお，選択公理そのものが話題になるため， 本稿では「基底が存在すること」を定義の一部としては含めません． つまり，ここでいう有限型マトロイドとは， 閉包作用素がマトロイド的な公理を満たす構造のことを指します． 選択公理のもとでは，この閉包作用素から通常の意味での基底が得られますが， 選択公理を使わない文脈では，基底存在そのものが非自明な主張になります．

まず，一般化線型空間の定義を本稿で使う形に書いておきます．

この定義では，$X \Subset Y$ を 「$X$ は $Y$ で生成される」と読むと分かりやすいです． すると，(GV1)$Y \subseteq X$ ならば $Y \Subset X$．(GV1) は 「$X$ の部分集合は当然 $X$ で生成される」， (GV2)任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して $X_{\lambda} \Subset Y$ ならば， $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \Subset Y$．(GV2) は 「各 $X_{\lambda}$ が $Y$ で生成されるなら，それらを全部集めても $Y$ で生成される」， (GV3)$X \Subset Y$ かつ $Y \Subset Z$ ならば $X \Subset Z$．(GV3) は 「$X$ が $Y$ で生成され，$Y$ が $Z$ で生成されるなら，$X$ も $Z$ で生成される」 という意味です．

特に重要なのは， (GV4)$\{x\} \Subset X \cup \{y\}$ かつ $\{x\} \not\Subset X$ ならば， $\{y\} \Subset X \cup \{x\}$．(GV4) と (GV5)$\{x\} \Subset X$ ならば， ある有限部分集合 $Y \subseteq X$ が存在して $\{x\} \Subset Y$．(GV5) です． (GV4)$\{x\} \Subset X \cup \{y\}$ かつ $\{x\} \not\Subset X$ ならば， $\{y\} \Subset X \cup \{x\}$．(GV4) は Mac Lane–Steinitz 型の交換律で， 線形代数における 「$y$ を加えることで初めて $x$ が生成できるようになったなら， 逆に $x$ を加えれば $y$ も生成できる」 という現象を抽象化したものです． また (GV5)$\{x\} \Subset X$ ならば， ある有限部分集合 $Y \subseteq X$ が存在して $\{x\} \Subset Y$．(GV5) は有限性条件であり， 「ある1点が $X$ 全体から生成されるなら，実は $X$ の有限部分集合だけで生成される」 という条件です． 線形結合は有限和であるため，通常の線型空間ではこの条件が自然に成り立ちます．

一般化線型空間における独立集合と基底は次のように定義されます．

これはマトロイドの言葉で言えば， 「各元が他の元たちから閉包されない集合」が独立集合であり， 「独立かつ全体を張る集合」が基底である，という定義です． 以下では，これを文字通り閉包作用素に翻訳します．

$(V,\Subset)$ を一般化線型空間とします． $A \subseteq V$ に対して

と定めます． つまり，$\cl(A)$ は 「$A$ から生成される点全体」です．

この定義により，もとの関係 $\Subset$ は完全に復元できます．

証明

まず $X \Subset A$ とする． $x \in X$ を任意に取る． $\{x\} \subseteq X$ であるから，(GV1)$Y \subseteq X$ ならば $Y \Subset X$．(GV1) より $\{x\} \Subset X$ である． さらに $X \Subset A$ なので，(GV3)$X \Subset Y$ かつ $Y \Subset Z$ ならば $X \Subset Z$．(GV3) より $\{x\} \Subset A$ である． よって $x \in \cl(A)$ であり，$X \subseteq \cl(A)$ が従う．

逆に $X \subseteq \cl(A)$ とする． すなわち，任意の $x \in X$ に対して $\{x\} \Subset A$ である． $X = \emptyset$ の場合は，$\emptyset \subseteq A$ なので (GV1)$Y \subseteq X$ ならば $Y \Subset X$．(GV1) より $\emptyset \Subset A$ が成り立つ． $X \neq \emptyset$ の場合は，族 $\{\{x\}\}_{x \in X}$ に (GV2)任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して $X_{\lambda} \Subset Y$ ならば， $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \Subset Y$．(GV2) を適用して

$$X = \bigcup_{x \in X} \{x\} \Subset A$$

を得る． したがって $X \Subset A$ である．

証明終わり□

この補題から，$\Subset$ は実は 「閉包に含まれる」という関係そのものだったことが分かります． したがって，一般化線型空間の情報は，閉包作用素 $\cl$ によって完全に記述できます．

次に，無限集合上でも使えるように，有限型マトロイドを閉包作用素で定義します． 本稿では，ZF 上で基存在を公理に含めない閉包構造を「有限性をもつ前幾何」 または「有限型マトロイド閉包構造」と呼ぶことにします． ZFC の下では，これは通常の意味での有限型マトロイドを与えます． 有限型マトロイドは，有限集合上のマトロイド閉包作用素に，有限性条件を加えたものだと思えばよいです．

有限集合 $E$ 上では，(FCL5)任意の $A \subseteq E$ と $x \in E$ に対して， $x \in \cl(A)$ ならば，ある有限部分集合 $A_{0} \subseteq A$ が存在して $x \in \cl(A_{0})$ が成り立つ (有限性, finite character)．(FCL5) は自動的に成り立ちます． したがって，有限マトロイドだけを扱う場合には， (FCL1)任意の $A \subseteq E$ に対して，$A \subseteq \cl(A)$ (拡大性, extensibility)．(FCL1)–(FCL4)任意の $A \subseteq E$ と $x,y \in E$ に対して， $x \in \cl(A \cup \{ y \}) \setminus \cl(A)$ ならば $y \in \cl(A \cup \{ x \})$ が成り立つ (Mac Lane–Steinitz 交換律, Mac Lane–Steinitz exchange property)．(FCL4) が通常の閉包作用素によるマトロイドの公理になります．

一方，$E$ が無限集合の場合，(FCL5)任意の $A \subseteq E$ と $x \in E$ に対して， $x \in \cl(A)$ ならば，ある有限部分集合 $A_{0} \subseteq A$ が存在して $x \in \cl(A_{0})$ が成り立つ (有限性, finite character)．(FCL5) は本質的な条件です． これは，「無限個の元を本質的に全部使わないと従属性が現れない」という現象を排除しています． 基存在まで含む通常のマトロイドの文脈では、この有限性条件は「すべてのサーキットが有限である」ことに対応します．

いよいよ，一般化線型空間と有限型マトロイド閉包作用素の対応を述べます．

証明

一般化線型空間から有限型マトロイド閉包作用素を作る．

$(V,\Subset)$ を一般化線型空間とし， $\cl(A) \coloneqq \{ x \in V \mathrel{:} \{ x \} \Subset A \}$ と定める． (FCL1)任意の $A \subseteq E$ に対して，$A \subseteq \cl(A)$ (拡大性, extensibility)．(FCL1)–(FCL5)任意の $A \subseteq E$ と $x \in E$ に対して， $x \in \cl(A)$ ならば，ある有限部分集合 $A_{0} \subseteq A$ が存在して $x \in \cl(A_{0})$ が成り立つ (有限性, finite character)．(FCL5) を順に確認する．

拡大性 (FCL1)任意の $A \subseteq E$ に対して，$A \subseteq \cl(A)$ (拡大性, extensibility)．(FCL1)

$A \subseteq V$ と $x \in A$ を取る． $\{ x \} \subseteq A$ なので，(GV1)$Y \subseteq X$ ならば $Y \Subset X$．(GV1) より $\{x\}\Subset A$ である． したがって $x \in \cl(A)$ であり，$A \subseteq \cl(A)$ が従う．

単調性 (FCL2)任意の $A \subseteq B \subseteq E$ に対して，$\cl(A) \subseteq \cl(B)$ (単調性, monotonicity)．(FCL2)

$A \subseteq B \subseteq V$ とする． $x \in \cl(A)$ を取ると，$\{ x \} \Subset A$ である． また $A \subseteq B$ なので，(GV1)$Y \subseteq X$ ならば $Y \Subset X$．(GV1) より $A \Subset B$ である． よって (GV3)$X \Subset Y$ かつ $Y \Subset Z$ ならば $X \Subset Z$．(GV3) から $\{ x \} \Subset B$ であり， $x \in \cl(B)$ となる． したがって $\cl(A) \subseteq \cl(B)$ である．

べき等性 (FCL3)任意の $A \subseteq E$ に対して，$\cl(\cl(A))=\cl(A)$ (べき等性, idempotency)．(FCL3)

拡大性と単調性から $\cl(A) \subseteq \cl(\cl(A))$ は従う． 逆包含を示す．

$x \in \cl(\cl(A))$ とする． すなわち $\{ x \} \Subset \cl(A)$ である． 一方，任意の $y \in \cl(A)$ について，定義より $\{ y \} \Subset A$ である． したがって (GV2)任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して $X_{\lambda} \Subset Y$ ならば， $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \Subset Y$．(GV2) により

$$\cl(A) = \bigcup_{y \in \cl(A)} \{ y \} \Subset A$$

が成り立つ． よって (GV3)$X \Subset Y$ かつ $Y \Subset Z$ ならば $X \Subset Z$．(GV3) から $\{ x \} \Subset A$ である． したがって $x \in \cl(A)$ となり， $\cl(\cl(A)) \subseteq \cl(A)$ が示された．

交換律 (FCL4)任意の $A \subseteq E$ と $x,y \in E$ に対して， $x \in \cl(A \cup \{ y \}) \setminus \cl(A)$ ならば $y \in \cl(A \cup \{ x \})$ が成り立つ (Mac Lane–Steinitz 交換律, Mac Lane–Steinitz exchange property)．(FCL4)

$x \in \cl(A \cup \{ y \}) \setminus \cl(A)$ とする． これは

$$\{ x \} \Subset A \cup \{ y \} \quad\text{かつ}\quad \{ x \} \not\Subset A$$

という意味である． よって (GV4)$\{x\} \Subset X \cup \{y\}$ かつ $\{x\} \not\Subset X$ ならば， $\{y\} \Subset X \cup \{x\}$．(GV4) から

$$\{ y \}\Subset A \cup \{ x \}$$

が従う． したがって $y \in \cl(A \cup \{ x \})$ である．

有限性 (FCL5)任意の $A \subseteq E$ と $x \in E$ に対して， $x \in \cl(A)$ ならば，ある有限部分集合 $A_{0} \subseteq A$ が存在して $x \in \cl(A_{0})$ が成り立つ (有限性, finite character)．(FCL5)

$x \in \cl(A)$ とする． これは $\{ x \} \Subset A$ という意味である． (GV5)$\{x\} \Subset X$ ならば， ある有限部分集合 $Y \subseteq X$ が存在して $\{x\} \Subset Y$．(GV5) より，ある有限部分集合 $A_{0} \subseteq A$ が存在して $\{ x \} \Subset A_{0}$ となる． したがって $x \in \cl(A_{0})$ である．

以上により，$(V, \cl)$ は有限型マトロイドである．

有限型マトロイドから一般化線型空間を作る．

$(E,\cl)$ を有限型マトロイドとし，

$$X \Subset Y \quad \Longleftrightarrow \quad X \subseteq \cl(Y)$$

と定める． (GV1)$Y \subseteq X$ ならば $Y \Subset X$．(GV1)–(GV5)$\{x\} \Subset X$ ならば， ある有限部分集合 $Y \subseteq X$ が存在して $\{x\} \Subset Y$．(GV5) を確認する．

(GV1)$Y \subseteq X$ ならば $Y \Subset X$．(GV1)

$Y \subseteq X$ とする． 拡大性より $X \subseteq \cl(X)$ であるから， $Y \subseteq \cl(X)$ である． したがって $Y \Subset X$ である．

(GV2)任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して $X_{\lambda} \Subset Y$ ならば， $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \Subset Y$．(GV2)

任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して $X_{\lambda}\Subset Y$ とする． これは $X_{\lambda}\subseteq \cl(Y)$ という意味である． よって

$$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda} \subseteq \cl(Y)$$

であり，$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \Subset Y$ が従う．

(GV3)$X \Subset Y$ かつ $Y \Subset Z$ ならば $X \Subset Z$．(GV3)

$X \Subset Y$ かつ $Y \Subset Z$ とする． これは $X \subseteq \cl(Y)$ かつ $Y \subseteq \cl(Z)$ という意味である． 単調性より

$$\cl(Y) \subseteq \cl(\cl(Z))$$

であり，べき等性より $\cl(\cl(Z))=\cl(Z)$ である． したがって $X \subseteq \cl(Z)$ であり，$X \Subset Z$ となる．

(GV4)$\{x\} \Subset X \cup \{y\}$ かつ $\{x\} \not\Subset X$ ならば， $\{y\} \Subset X \cup \{x\}$．(GV4)

$\{ x \} \Subset X \cup \{ y \}$ かつ $\{ x \} \not\Subset X$ とする． これは

$$x \in \cl(X \cup \{ y \}) \setminus \cl(X)$$

という意味である． 交換律より

$$y \in \cl(X \cup \{ x \})$$

であるから，$\{ y \} \Subset X \cup\{ x \}$ が従う．

(GV5)$\{x\} \Subset X$ ならば， ある有限部分集合 $Y \subseteq X$ が存在して $\{x\} \Subset Y$．(GV5)

$\{ x \} \Subset X$ とする． これは $x \in \cl(X)$ という意味である． 有限性より，ある有限部分集合 $Y \subseteq X$ が存在して $x \in \cl(Y)$ となる． したがって $\{ x \} \Subset Y$ である．

以上により，$(E, \Subset)$ は一般化線型空間である．

最後に，これらの構成が互いに逆であることを確認する． 一般化線型空間から出発した場合は， 補題 補題 1 により， もとの関係 $\Subset$ は $X \subseteq \cl(Y)$ と同値であるから復元される． 逆に，有限型マトロイド閉包作用素から出発した場合， 新しく得られる閉包は

$$\{ x \in E \mathrel{:} \{ x \} \Subset A \} = \{ x \in E \mathrel{:} x \in \cl(A) \} = \cl(A)$$

である． したがって両者は互いに逆である．

証明終わり□

この定理により，一般化線型空間は， 有限型マトロイドの別表現だと見なせます． 特に，$\Subset$ という二項関係を使う代わりに，

という閉包作用素だけを使っても，情報は失われません．

上の対応のもとで，一般化線型空間の独立集合と基底は， マトロイドの独立集合と基にそのまま対応します．

証明

1つ目は定義を言い換えただけである． 実際，

$$\{ x \} \Subset I \setminus \{ x \} \quad \Longleftrightarrow \quad x \in \cl(I \setminus \{ x \})$$

である．

2つ目については，一般化線型空間の基底の定義は 「独立であり，かつ $V \Subset B$」である． 補題 補題 1 より

$$V \Subset B \quad \Longleftrightarrow \quad V \subseteq \cl(B)$$

である． しかし常に $\cl(B) \subseteq V$ であるから， これは $\cl(B) = V$ と同値である．

証明終わり□

したがって，alg-d氏の記事における 「任意の一般化線型空間に基底が存在する」 という選択公理と同値な命題は，マトロイドの言葉では 「任意の有限型マトロイド閉包作用素に基底が存在する」 という命題として読むことができます． この仮定の下で，有限型マトロイドにおいては， 通常の交換律 (FCL4)任意の $A \subseteq E$ と $x,y \in E$ に対して， $x \in \cl(A \cup \{ y \}) \setminus \cl(A)$ ならば $y \in \cl(A \cup \{ x \})$ が成り立つ (Mac Lane–Steinitz 交換律, Mac Lane–Steinitz exchange property)．(FCL4) により， 同じ閉集合の任意の2つの基は同じ濃度を持つことがわかります． このとき，閉集合 $F$ の次元 $\dim F$ を $F$ の基の濃度として定めます． そして，一般の部分集合 $A \subseteq E$ に対しては

で次元を定めます．

一般化線型空間の基底存在定理が選択公理と同値になる理由も， 前幾何の言葉で見るとかなり自然です．

選択公理から基の存在を導く方向では， 独立集合全体に対して Tukey の補題や Zorn の補題を適用し，極大独立集合を取ります． 有限性条件 (FCL5)任意の $A \subseteq E$ と $x \in E$ に対して， $x \in \cl(A)$ ならば，ある有限部分集合 $A_{0} \subseteq A$ が存在して $x \in \cl(A_{0})$ が成り立つ (有限性, finite character)．(FCL5) があるため， 独立性は有限部分集合で判定できます． そのため，極大独立集合を取るための標準的な議論が働きます．

具体的には，独立集合全体に包含関係で順序を入れます． 独立集合の鎖 $\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \geq 1}$ に対して $\displaystyle I \coloneqq \bigcup_{\alpha \geq 1} I_{\alpha}$ と置くと，$I$ は独立です．実際，もし $x \in I$ が $I \setminus \{ x \}$ の閉包に入るなら，有限性条件により有限集合 $F \subseteq I \setminus \{ x \}$ で $x \in \cl(F)$ を満たすものが存在します． 鎖性により $F \cup \{ x \}$ はある $I_{\alpha}$ に含まれるため， $I_{\alpha}$ の独立性に矛盾します．

極大独立集合が全体を張ることを示しましょう． 背理法により，極大独立集合 $B$ が全体を張らない，つまり $\cl(B)\ne E$ を満たすと仮定して矛盾を導きます． $x \in E \setminus \cl(B)$ を取ると，$B \cup \{ x \}$ は独立です． 実際，もし $B \cup \{ x \}$ が従属なら，ある $y \in B \cup \{ x \}$ が 他の元の閉包に入らなければなりません．$y = x$ は $x \notin \cl(B)$ に反し， $y \in B$ の場合は交換律により $x \in \cl(B)$ が従います． つまり，どんな $x \in E \setminus \cl(B)$ を取っても独立性が壊れないことになり， $B$ の極大性に矛盾します． したがって $B$ は基になります．

逆向き，すなわち基の存在から選択公理を導く方向では， 分割マトロイドのような構成を考えると分かりやすいです． 互いに素でない非空集合族に対しては， $\{ \lambda \} \times X_{\lambda}$ に置き換えれば，互いに素な族に帰着できるため， 互いに素な非空集合族 $\{ X_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ を取り，

とします． $A\subseteq E$ に対して

と定めます．これは有限型マトロイド閉包作用素です． 直観的には，あるブロック $X_{\lambda}$ から1つでも元を取ると， そのブロック全体が閉包に入る，という構造です．

このマトロイドで独立な集合とは， 各ブロック $X_{\lambda}$ から高々1つずつ元を取る集合です． また，基であるとは，独立であり，かつすべてのブロックを張ることです． したがって，基 $B$ は各 $\lambda$ について

を満たします． つまり，$B$ は集合族 $\{X_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の選択集合そのものです．

このように見ると，一般化線型空間の基底存在が選択公理を含んでいることは，かなり直接的に理解できます． 任意の有限型マトロイドに基が存在するなら，特に上の分割マトロイドにも基が存在し，それが選択関数を与えるからです．

ここまでの議論から， 一般化線型空間は有限型マトロイドと同じものだと言えます． では，これは「無限マトロイド」と同じものなのでしょうか．

答えは，言葉の使い方によります． 単に「台集合が無限でもよいマトロイド的閉包構造」という意味で 無限マトロイドと言うなら，一般化線型空間は確かにその一種です． しかし，Bruhn–Diestel–Kriesell–Pendavingh–Wollan [BDKP+13] 以降の現代的な意味での無限マトロイドを考えるなら，一般化線型空間はその全体ではありません．

違いは，有限性条件にあります． 一般化線型空間では，定義 定義 の (GV5)$\{x\} \Subset X$ ならば， ある有限部分集合 $Y \subseteq X$ が存在して $\{x\} \Subset Y$．(GV5) により，

が成り立ちます． したがって，従属性は常に有限部分集合で検出されます． このため，無限サーキットは現れません．

一方，現代的な無限マトロイドでは，無限サーキットを持つ例も許します． その代わり，基や双対性が有限マトロイドの場合と同じように振る舞うように， 独立集合・基・サーキット・閉包などについて， 有限型の場合よりも強い最大性条件を課します． この理論では，有限型マトロイドの双対のような， 一般には有限型でないマトロイドも扱えるようになります．

この例から分かるように， 一般化線型空間は現代的な無限マトロイド全体ではありません． 一般化線型空間に対応するのは，その中でも有限型のもの， すなわち全てのサーキットが有限であるものです．

ここまで，一般化線型空間が有限型マトロイド，すなわち前幾何と 同じ内容を持つことを見ました． では，このような構造は普通の線型空間以外で何に使われるのでしょうか．

一言で言えば，マトロイドや前幾何は \begin{quote} 「生成」「従属」「独立」「基底」「次元」 という線型代数的な語彙を，線型空間以外の構造にも持ち込むための道具 \end{quote} です． 線型空間では，あるベクトルが他のベクトルたちから生成されるとは， そのベクトルが線型結合で書けるということでした． しかし数学では，線型結合以外にもさまざまな「従属関係」が現れます． たとえば，多項式方程式による代数的従属性や， モデル理論における論理式による代数的従属性がそうです．

まず，線型空間とは別の典型例として，体拡大における代数的従属性を考えます． $K \subseteq L$ を体拡大とします． $A \subseteq L$ に対して

と定めます． ここで $K(A)$ は，$K$ に $A$ の元をすべて添加して得られる部分体です． 交換律は体論における Steinitz の交換補題，すなわち代数的独立性の交換性に対応します．

この閉包は，線形結合ではなく，多項式方程式による生成を表しています． つまり，$x \in \cl(A)$ とは， $x$ が $A$ の元を係数として使った何らかの代数方程式の解として決まる， という意味です．

このとき，独立集合は代数的独立な集合になります． すなわち，$A \subseteq L$ が独立であるとは， $A$ の元たちの間に $K$ 係数の非自明な多項式関係がないことです． また，基は $L/K$ の超越基底になります． したがって，前幾何の次元は体拡大の超越次数に一致します． なお，超越基底の一般的な存在証明にもZornの補題，すなわち選択公理が使われます． 超越基底と超越次数については，例えば [Aut, Section 9.26] を参照してください.

この例では，従属関係は線形ではありません． たとえば $y = x^{2}$ という関係は線形関係ではありませんが， $y$ は $x$ から代数的に決まります． このような非線形な従属関係も，前幾何の言葉では $y \in \cl(\{ x \})$ と表せます．

したがって，マトロイドや前幾何は 「線型空間の一般化」というより， 「従属関係と次元の一般論」と見ることもできます．

前幾何が特に重要に現れる分野の一つがモデル理論です． モデル理論では，群・環・体・順序集合などを一階述語論理の構造として扱い， その構造の中で定義可能な集合を調べます． モデル理論に関する議論については，板井昌典先生の『幾何学的モデル理論入門[改訂版]』 [Ita20] を参考にしました．より詳細な記述については，こちらの書籍をご参照ください．

無限構造 $M$ が極小であるとは，大雑把に言えば， $M$ の $1$ 変数定義可能部分集合が，常に有限集合または有限集合の補集合になることです． さらに，$M$ と初等同値な任意の構造でも同じ性質が成り立つとき， $M$ は強極小構造と呼ばれます． より正確には，構造 $M$ が強極小であるとは， $M$ と初等同値な任意の構造 $N$ において， パラメータ付きで定義可能な $N$ の1変数部分集合が 常に有限集合または余有限集合になることをいいます．

強極小構造 $M$ に対して，$A \subseteq M$ 上の代数的閉包 $\acl(A)$ を次のように定義します ^{脚注²厳密には，通常は十分飽和したたモンスターモデルの中で $\acl(A)$ を定義するようですが， 本稿説明では，直観を優先して構造 $M$ の中で定義しています．2}． 元 $a \in M$ が $\acl(A)$ に属するとは， 有限タプル $\bar{a} \in A^{<\omega}$ をパラメータに持つ論理式 $\varphi(x, \bar{a})$ が存在して， $\varphi(M)$ が有限集合であり，かつ

となることです． つまり，$a$ は $A$ を使って定義される有限集合の中に入っている，という意味です． 強極小集合において $\acl$ が前幾何を定めることが よく知られています [Mar98; Ita20].

これは，体論における代数的閉包の論理的な一般化です． 代数的閉体の場合，有限個しか解を持たない論理式は，直観的には多項式方程式の有限個の解を表しています． そのため，モデル理論的な $\acl$ は，代数的閉体では体論的な代数的閉包と対応します．

強極小構造では，この $\acl$ が前幾何を定めます． したがって，強極小構造の中で独立性，基底，次元を定義できるようになります． この次元は，線型空間の次元や体拡大の超越次数と同じ役割を果たします．

この観点から見ると，前幾何は強極小構造を分類するための組合せ的な影のようなものです． もとの構造は論理式で定義される複雑な対象ですが，そこから $\acl$ を取り出すと，マトロイド的な幾何構造が得られます． そして，その幾何がどのような性質を持つかによって，もとの構造の性質を調べることができます．

前幾何の性質として，モデル理論では特に自明性，モジュラー性，局所モジュラー性が重要になります．

前幾何 $(M,\cl)$ が自明 (trivial) であるとは， 任意の $A\subseteq M$ に対して

が成り立つことです． これは，複数の元を組み合わせても新しい従属関係が生じない，という意味です． 何かが $A$ から生成されるなら，実は $A$ の中の1つの元だけから生成されている，ということです．

一方，モジュラー (modular) な前幾何とは，有限次元の閉集合 $A$, $B$ に対して

という，線型空間の部分空間の次元公式に似た等式が成り立つものをいいます． このため，モジュラーな前幾何は「線型空間的」あるいは 「射影幾何的」な振る舞いをするものと考えられます． 局所モジュラー性は，$\cl(\emptyset)$ や並列元をつぶして得られる幾何， または有限集合で局所化した幾何において，モジュラーな次元公式が成り立つこととしてされます． ここでは直観的には「基点を固定すると線型空間的な次元公式が成り立つ性質」と理解すれば十分です．

代数的閉体から得られる前幾何は一般にモジュラーではありません． 代数的閉体では，従属関係は単なる線形関係ではなく，多項式方程式による代数的従属性です． 例えば，独立な $a$, $b$, $x$ に対して $y=ax+b$ を考えると，$a$, $b$ が直線を決め，$x$, $y$ がその直線上の点を決めるという幾何的相互作用が現れます． 例えば $\acl(\emptyset)$ 上で，互いに代数的独立な $a$, $b$, $x$ を取り，$y = ax + b$ と置きます． 閉集合 $A = \acl(a,b)$, $B = \acl(x,y)$ を考えると， $\dim A = \dim B = 2$ であり，$A \cap B = \acl(\emptyset)$ なので $\dim(A \cap B) = 0$ となる一方，

が成り立ちます．したがってモジュラーな次元公式が要求する値 $4$ と合いません． このような「2つのパラメータの組」と「点の組」が， 単なる線型空間的な次元公式では捉えきれない非線形な相互作用を生み， 非モジュラー性として現れます．

したがって，強極小構造に付随する前幾何を調べることで，その構造が

• ほとんど相互作用を持たない自明な構造なのか，

• 線型空間や射影幾何のような構造なのか，

• 代数的閉体のような非線形な代数幾何的構造なのか

を区別することができます．

この発想は，Zilber の三分法の背景にあります． 非常に大まかに言えば，強極小構造の幾何は 「自明」「ベクトル空間的」「体的」のいずれかに分類されるのではないか，という見方です． Hrushovski [Hru93] の構成により，Zilber の三分法は そのままの素朴な形では反例を持ちますが，強極小構造の分類において， 前幾何が中心的な役割を果たすことをよく表しています．

もう一つの関連する例として，代数的マトロイドがあります． これは，有限個の量の間にある代数的従属関係をマトロイドとして記録するものです．

たとえば，ある多項式方程式系で定まる対象を考え，そこに座標や観測量

があるとします． より正確には，既約代数多様体の関数体における座標関数 $x_{1}, \dots, x_{n}$，またはある体拡大の元 $x_{1}, \dots, x_{n}$ の代数的従属性を記録します． 部分集合 $S\subseteq \{ 1, \dots, n \}$ が独立であるとは，対応する座標たちの間に非自明な多項式関係がないことだと考えます． 逆に，最小の代数的従属集合はサーキットになります． サーキットは，その変数集合上で初めて非自明な代数関係が現れる 極小の部分集合となります．

このように，代数的マトロイドは 「どの量がどの量から代数的に決まるか」 を組合せ的に表す道具です． 線型マトロイドが線形関係を扱うのに対して，代数的マトロイドは多項式関係を扱います． そのため，代数統計，低ランク行列補完，剛性理論など， 非線形な代数的制約が現れる場面で自然に現れます．

この観点からも，一般化線型空間や前幾何は，単なる線型空間の類似物ではなく， 「従属関係を抽象化して次元を測る」ための共通言語だと言えます．

代数的マトロイドについては，入門的な解説として Rosen–Sidman–Theran [RST20] があります．

本稿で見たことをまとめると，一般化線型空間と有限型マトロイド閉包作用素は 同一概念です．対応は非常に単純で，一般化線型空間 $(V,\Subset)$ から

と定めれば有限型マトロイド閉包作用素が得られます． 逆に，有限型マトロイド閉包作用素 $\cl$ から

と定めれば，一般化線型空間が得られます．

この対応のもとで，独立集合と基底もそのまま一致します． したがって，alg-d氏の記事に現れる 「任意の一般化線型空間に基底が存在する」 という命題は，マトロイドの言葉では 「任意の有限型マトロイド閉包作用素に基底が存在する」 という命題として読めます． そして，分割マトロイドを考えることで， この基底存在が選択公理を含むことも自然に理解できます．

ただし，現代的な意味での無限マトロイド全体は， 有限型マトロイドよりも広いクラスです． そこでは無限サーキットを持つマトロイドも許されます． したがって，一般化線型空間は 「無限マトロイド全部」ではなく， 「有限型の無限マトロイド」あるいは 「前幾何」に対応するものだと考えるのが正確です．

脚注

1. 私が知ったきっかけは， alg-d氏の動画 [Alg] です． 対応する記事およびPDF版として [Algb; Alg14] が公開されています． 動画の概要欄および記事では，参考文献として Bleicher [Ble64] が挙げられています． ↩
2. 厳密には，通常は十分飽和したたモンスターモデルの中で $\acl(A)$ を定義するようですが， 本稿説明では，直観を優先して構造 $M$ の中で定義しています． ↩

参考文献

1. [BDKP+13] Henning Bruhn, Reinhard Diestel, Matthias Kriesell, Rudi Pendavingh, and Paul Wollan. Axioms for infinite matroids. Adv. Math., vol. 239, pp. 18–46, 2013. doi:10.1016/j.aim.2013.01.011 引用箇所答えは，言葉の使い方によります． 単に「台集合が無限でもよいマトロイド的閉包構造」という意味で 無限マトロイドと言うなら，一般化線型空間は確かにその一種です． しかし，Bruhn–Diestel–Kriesell–Pendavingh–Wollan [BDKP+13] 以降の現代的な意味での無限マトロイドを考えるなら，一般化線型空間はその全体ではありません．↩
2. [Aut] The Stacks Project Authors. The Stacks Project, Section 9.26: Transcendence 引用箇所このとき，独立集合は代数的独立な集合になります． すなわち，$A \subseteq L$ が独立であるとは， $A$ の元たちの間に $K$ 係数の非自明な多項式関係がないことです． また，基は $L/K$ の超越基底になります． したがって，前幾何の次元は体拡大の超越次数に一致します． なお，超越基底の一般的な存在証明にもZornの補題，すなわち選択公理が使われます． 超越基底と超越次数については，例えば [Aut, Section 9.26] を参照してください.↩
3. [Ita20] 板井 昌典 (Masanori Itai). 幾何的モデル理論入門［改訂版］ (Introduction to Geometric Model Theory, revised edition). 日本評論社 (Nippon Hyoron Sha), 2020 引用箇所前幾何が特に重要に現れる分野の一つがモデル理論です． モデル理論では，群・環・体・順序集合などを一階述語論理の構造として扱い， その構造の中で定義可能な集合を調べます． モデル理論に関する議論については，板井昌典先生の『幾何学的モデル理論入門[改訂版]』 [Ita20] を参考にしました．より詳細な記述については，こちらの書籍をご参照ください．↩1 引用箇所となることです． つまり，$a$ は $A$ を使って定義される有限集合の中に入っている，という意味です． 強極小集合において $\acl$ が前幾何を定めることが よく知られています [Mar98; Ita20].↩2
4. [Mar98] David Marker. Strongly minimal sets and geometry. Logic Colloquium '95 (Haifa), vol. 11, pp. 191–213, 1998. doi:10.1007/978-3-662-22108-2_12 引用箇所となることです． つまり，$a$ は $A$ を使って定義される有限集合の中に入っている，という意味です． 強極小集合において $\acl$ が前幾何を定めることが よく知られています [Mar98; Ita20].↩
5. [Hru93] Ehud Hrushovski. A new strongly minimal set. Ann. Pure Appl. Logic, vol. 62, no. 2, pp. 147–166, 1993. doi:10.1016/0168-0072(93)90171-9 引用箇所この発想は，Zilber の三分法の背景にあります． 非常に大まかに言えば，強極小構造の幾何は 「自明」「ベクトル空間的」「体的」のいずれかに分類されるのではないか，という見方です． Hrushovski [Hru93] の構成により，Zilber の三分法は そのままの素朴な形では反例を持ちますが，強極小構造の分類において， 前幾何が中心的な役割を果たすことをよく表しています．↩
6. [RST20] Zvi Rosen, Jessica Sidman, and Louis Theran. Algebraic matroids in action. Amer. Math. Monthly, vol. 127, no. 3, pp. 199–216, 2020. doi:10.1080/00029890.2020.1689781 引用箇所代数的マトロイドについては，入門的な解説として Rosen–Sidman–Theran [RST20] があります．↩
7. [Alg] alg-d. Generalized vector space [Axiom of Choice] 引用箇所私が知ったきっかけは， alg-d氏の動画 [Alg] です． 対応する記事およびPDF版として [Algb; Alg14] が公開されています． 動画の概要欄および記事では，参考文献として Bleicher [Ble64] が挙げられています．↩
8. [Algb] alg-d. 線型空間の基底の存在 : 選択公理 引用箇所私が知ったきっかけは， alg-d氏の動画 [Alg] です． 対応する記事およびPDF版として [Algb; Alg14] が公開されています． 動画の概要欄および記事では，参考文献として Bleicher [Ble64] が挙げられています．↩
9. [Alg14] alg-d. 線型空間の基底の存在と選択公理. 2014 引用箇所私が知ったきっかけは， alg-d氏の動画 [Alg] です． 対応する記事およびPDF版として [Algb; Alg14] が公開されています． 動画の概要欄および記事では，参考文献として Bleicher [Ble64] が挙げられています．↩
10. [Ble64] M. Bleicher. Some theorems on vector spaces and the axiom of choice. Fundamenta Mathematicae, vol. 54, no. 1, pp. 95–107, 1964. doi:10.4064/fm-54-1-95-107 引用箇所私が知ったきっかけは， alg-d氏の動画 [Alg] です． 対応する記事およびPDF版として [Algb; Alg14] が公開されています． 動画の概要欄および記事では，参考文献として Bleicher [Ble64] が挙げられています．↩