MacWilliams恒等式で学ぶ指標論入門

符号理論における基本定理の一つに，MacWilliams恒等式があります． $E$ を座標集合とする有限体 $\mathbb{F}_{q}$ 上の線形符号 $C \leq \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して，その双対符号

の重み多項式は，$C$ の重み多項式から次のように計算できます：

これがMacWilliams恒等式です．

この連載では，MacWilliams恒等式の証明を手掛かりに， 周辺分野・周辺概念への入門を試みます． そのため，本連載では以下のような読者を対象としています：

符号理論の初歩，具体的には

• （有限）体とは何か

• 有限体上の線形符号とは何か

• Hamming重みとは何か

• 双対符号とは何か

程度は既知であることを前提としています (MacWilliams恒等式の証明は知らなくても問題ありません)．

この連載では，MacWilliams恒等式の証明手法を大きく次の五つの系統に分けて眺めます．

1. Fourier・指標・Poisson系．

2. Möbius反転・束論・短縮穿孔系．

3. 直交多項式・アソシエーションスキーム系．

4. マトロイド・Tutte多項式系．

5. モーメント・二重数え上げ系．

今回の証明は，このうち「Fourier・指標・Poisson系」に着目します． ただし，本稿ではいきなりFourier変換やPoisson和公式という言葉を前面に出すのではなく， その最も基本的な構成要素である有限アーベル群の指標から始めます． つまり，第2回の目標は，MacWilliams恒等式の証明を案内役として， 有限アーベル群の指標論に入門することです．

前回は，台の包含関係とMöbius反転を使ってMacWilliams恒等式を証明しました． それに対して今回は，同じ恒等式を有限アーベル群の指標とその直交関係から証明します． 前回の主役が「台の包含関係」だったのに対し， 今回の主役は「群の双対性」と「指標の直交関係」です．

ここでいう指標論は，有限群の表現論全体を扱うものではありません． 本稿で必要になるのは，有限アーベル群 $G$ から複素数の乗法群 $\mathbb{C}^{\times}$ への準同型

です． これを $G$ の指標と呼びます． 有限アーベル群の指標は，群の元を複素数の $1$ の冪根へ写し， 足し算を掛け算に変える関数です． そして，指標たちは非常に強い直交関係を満たします． この直交関係が，固定した同型を通して双対符号 $C^{\perp}$ に対応する条件を取り出してくれます．

今回の流れは次のようになります．

MacWilliams恒等式の証明だけを見るなら，必要な式はそれほど多くありません． 本質的には

という一つの直交関係に集約されます． しかし，この式だけを孤立した計算として使ってしまうと， 指標論という分野の見通しが悪くなります． そこで本稿では，まず有限アーベル群の指標，指標群，零化部分群を導入し， その後でMacWilliams恒等式へ応用します．

有限群の指標と有限Fourier解析については， Terras [Ter99] や Stein–Shakarchi [SS03] が標準的な参考文献です． 有限体のトレース写像や加法指標については，Lidl–Niederreiter [LN97] を参照してください．

まず，符号理論の対象を少しだけ見方を変えて眺めます． $\mathbb{F}_{q}^{E}$ は有限体上のベクトル空間ですが， スカラー倍のことは忘れて^{脚注¹とはいえ，完全に忘れ去ってすべての議論が進むわけではありません． 多くの部分は加法群としての構造で進みますが， 後で述べる零化部分群 $C^{\circ}$ と通常の双対符号 $C^{\perp}$ を一致させる場面では， $a \in \mathbb{F}_{q}$ かつ $c \in C$ なら $ac \in C$ という， $C$ の $\mathbb{F}_{q}$-線形性を使います．1}足し算だけに集中すれば，有限アーベル群でもあります．

(G3)各 $x$ に対して，ある元 $x^{\prime} \in G$ が存在して，$x + x^{\prime} = x^{\prime} + x = 0$．(G3) における $x^{\prime}$ を $x$ の (加法) 逆元といいます． 各 $x \in G$ に対して $x^{\prime}$ は一意に定まることが直ちにわかる^{脚注²$x^{\prime}$ と $x^{\prime\prime}$ がいずれも $x \in G$ の逆元であるとすると， $x^{\prime} = x^{\prime} + 0 = x^{\prime} + (x + x^{\prime\prime}) = (x^{\prime} + x) + x^{\prime\prime} = 0 + x^{\prime\prime} = x^{\prime\prime}$ となります（証明から，可換性 (G4) の仮定がなくても成り立ちます）．2}ので，これを $-x \coloneqq x^{\prime}$ と書くのでした． 有限体 $\mathbb{F}_{q}$ は，足し算に関して有限アーベル群です． したがって，その直積である $\mathbb{F}_{q}^{E}$ も有限アーベル群です． 線形符号 $C \leq \mathbb{F}_{q}^{E}$ は，ベクトル部分空間であると同時に，この加法群の部分群でもあります．

指標論的な証明では，この「加法群としての構造」を使います． つまり，ベクトル空間のスカラー倍よりも，まずは加法群としての $\mathbb{F}_{q}^{E}$ と その部分群 $C$ に注目します．

ただし，双対符号

は内積を使って定義されています． 指標論的証明の面白い点は，この内積による直交補が， 「$C$ 上で自明になる指標たち」として自然に現れることです． そのために，まずは有限アーベル群の指標を導入します．

本稿で扱う群はアーベル群なので，演算を加法で書きます． 一方，複素数の非零元全体

は掛け算で群になります．指標とは，加法を掛け算に移す写像です．

群準同型は単位元を保つ^{脚注³ここでは，加法記法の群 $G$ から乗法記法の群 $G^{\prime}$ への準同型 $f \colon G \to G^{\prime}$ を考えます． $G$ の単位元を $0$，$G^{\prime}$ の単位元を $1_{G^{\prime}}$ とすると， $f(0) = f(0)1_{G^{\prime}} = f(0)(f(0)f(0)^{-1}) = (f(0)f(0))f(0)^{-1} = f(0 + 0)f(0)^{-1} = f(0)f(0)^{-1} = 1_{G^{\prime}}$ です． が従います．3}ので，常に $\chi(0) = 1$ です．

有限群の指標は，必ず $1$ の冪根を値に取ります． 実際，$x \in G$ の位数^{脚注⁴$x \in G$ の位数とは，$mx \coloneqq \underbrace{x + \dots + x}_{m\text{ 個}} = 0$ となる最小の正整数 $m$ のことでした （乗法の表記を用いる場合は $x^{m} \coloneqq \underbrace{x \dotsm x}_{m\text{ 個}} = 1$ となる最小の正整数 $m$ のことです）．4}を $m$ とすると，$mx = 0$ です． したがって

です．つまり，指標は有限群の元を複素平面上の単位円の有限個の点へ写します．

$q = p^{m}$ とします．ここで $p$ は素数です．有限体のトレース写像

を使うと，加法指標を具体的に書けます． 例えば

で加法指標 $\psi$ を定めます． ここで $\Tr_{\mathbb{F}_{q}/\mathbb{F}_{p}}(a)$ は $\mathbb{F}_{p}$ の元なので， 指数関数に入れるときは $\mathbb{F}_{p} \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同一視し， 代表元 $0,1,\dots,p-1$ を用いています． この値は $p$ を法とした剰余類だけに依存するので，代表元の取り方には依存しません． この $\psi$ が加法指標になるのは，トレース写像が加法的だからです． 実際，

が成り立ちます． また，有限体の拡大は分離的なので，$\Tr_{\mathbb{F}_{q}/\mathbb{F}_{p}}$ は零写像ではありません． 本稿ではこの事実を有限体論の基本事実として用います． また，$\Tr_{\mathbb{F}_{q}/\mathbb{F}_{p}}$ は非零な $\mathbb{F}_{p}$ 線形写像なので， その像は $\mathbb{F}_{p}$ 全体です．したがって

となる $a \in \mathbb{F}_{q}$ が存在し，そのような $a$ に対して

ですから，$\psi$ は自明ではありません．

より一般に，$t \in \mathbb{F}_{q}$ に対して

と定めると，$\psi_{t}$ も加法指標です． $t = 0$ のとき $\psi_{t}$ は自明な指標です． また，$t \neq 0$ のときは $a \mapsto ta$ が $\mathbb{F}_{q}$ の全単射なので， もし $\psi_{t}$ が自明なら $\psi$ も自明になってしまいます． したがって，$t \neq 0$ のとき $\psi_{t}$ は非自明な指標です．

なお，$q = p^{m}$，$m > 1$ のとき，$\Tr_{\mathbb{F}_{q}/\mathbb{F}_{p}}$ は $\mathbb{F}_{p}$ 上 $m$ 次元の空間 $\mathbb{F}_{q}$ から $1$ 次元の空間 $\mathbb{F}_{p}$ への非零線形写像なので， その核は非自明です． したがって，トレースから作る加法指標では，非零の $x \in \mathbb{F}_{q}$ に対しても

となることがあります． したがって一般には

は成り立ちません．この点は，後で $C^{\circ}$ と $C^{\perp}$ を比べるときに重要になります．

証明

すでに見たように，各 $t \in \mathbb{F}_{q}$ に対して

$$\psi_{t}(a)=\psi(ta)$$

は加法指標である．

次に，$t \neq t^{\prime}$ なら $\psi_{t} \neq \psi_{t^{\prime}}$ であることを示す． 実際，

$$\psi_{t}(a)\psi_{t^{\prime}}(a)^{-1} = \psi((t-t^{\prime})a)$$

であり，$t-t^{\prime} \neq 0$ なので $a \mapsto (t-t^{\prime})a$ は $\mathbb{F}_{q}$ の全単射である． したがって右辺は非自明な加法指標であり，$\psi_{t}$ と $\psi_{t^{\prime}}$ は一致しない． よって，少なくとも $q$ 個の相異なる加法指標がある．

逆に，加法指標の個数は高々 $q$ 個であることを示す． $q=p^{m}$ とし，$\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}$ を $\mathbb{F}_{q}$ の $\mathbb{F}_{p}$-基底とする． 任意の加法指標 $\eta$ と任意の $a \in \mathbb{F}_{q}$ に対して， 加法群では $pa=0$ なので

$$\eta(a)^{p} = \eta(pa) = \eta(0) = 1$$

である． したがって，各 $\eta(a)$ は複素数の $p$ 乗して $1$ になる元である．

また，任意の $a \in \mathbb{F}_{q}$ は一意的に

$$a=b_{1}\alpha_{1}+\cdots+b_{m}\alpha_{m} \qquad (b_{1},\dots,b_{m}\in\mathbb{F}_{p})$$

と書けるから， ここで $b_{i}$ を指数として書くときは， $\mathbb{F}_{p}$ の元を $0,1,\dots,p-1$ の代表元で表しているものとする．

$$\eta(a) = \eta(\alpha_{1})^{b_{1}} \cdots \eta(\alpha_{m})^{b_{m}}$$

である． すなわち，$\eta$ は基底 $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}$ 上の値で決まる． 各 $\eta(\alpha_{i})$ の選択肢は高々 $p$ 個なので，加法指標全体の個数は高々 $p^{m}=q$ 個である．

以上より，加法指標はちょうど $q$ 個であり，

$$\{ \psi_{t} : t \in \mathbb{F}_{q} \}$$

がその全体である． 一意性は，すでに示した $\psi_{t} \neq \psi_{t^{\prime}}$ から従う．

証明終わり□

以後，本稿では $\mathbb{F}_{q}$ の非自明な加法指標を一つ固定し，それを $\psi$ と書きます． MacWilliams恒等式の指標論的証明では，どの非自明な加法指標を選んでも同じ結果が得られます．

指標全体は，それ自身が群になります．

$\widehat{G}$ には，指標の点ごとの積で群構造が入ります． つまり，$\chi, \eta \in \widehat{G}$ に対して

と定めます． 単位元は自明な指標 $1_{G}$ であり，$\chi$ の逆元 $\chi^{-1}$ は

で与えられます．

証明

ここでは，有限アーベル群の基本定理をブラックボックスとして用いる． 有限アーベル群の基本定理より，$G$ は有限個の巡回群の直積

$$\mathbb{Z}/N_{1}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/N_{2}\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/N_{r}\mathbb{Z}$$

と同型である． 例 3.3（\mathbbZ/N\mathbbZ の指標）巡回群 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ を加法群として考える． $a \in \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ に対して $$\chi_{a}(\overline{x}) = \exp\left(\frac{2\pi \sqrt{-1}\, ax}{N}\right)$$ と定めると，これは $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の指標である． ここで $a$ と $x$ は剰余類の代表元として整数を取っている． 代表元の取り方を変えても値は変わらないので，この定義は well-defined である． 特に，$N$ 乗して $1$ になる複素数は $$\exp\left(\frac{2\pi \sqrt{-1}\, a}{N}\right) \qquad (a = 0,1,\dots,N-1)$$ の形にちょうど書ける． 実は，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の指標はこれですべてである． なぜなら，指標 $\chi$ は生成元 $\bar{1}$ の値で決まり， $N\bar{1} = \bar{0}$ だから $$\chi(\bar{1})^{N} = \chi(\bar{0}) = 1$$ である．したがって $\chi(\bar 1)$ は $N$ 乗して $1$ になる複素数であり， その選び方は $N$ 通りである． 例えば $N = 4$，つまり $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ のとき，$a = 1$ に対応する指標は $$\chi_{1}(\overline{0})=1, \quad \chi_{1}(\overline{1})=\sqrt{-1}, \quad \chi_{1}(\overline{2})=-1, \quad \chi_{1}(\overline{3})=-\sqrt{-1}$$ である．例 3.3 で見たように，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の指標は $N$ 個ある． また，直積群の指標は各成分の指標の積として得られる． 実際，$\chi \in \widehat{G_{1} \times G_{2}}$ に対して

$$\chi_{1}(x_{1}) = \chi(x_{1}, 0),\qquad \chi_{2}(x_{2}) = \chi(0, x_{2})$$

とおけば，

$$\chi(x_{1}, x_{2}) = \chi((x_{1}, 0) + (0, x_{2})) = \chi_{1}(x_{1}) \chi_{2}(x_{2})$$

である． 逆に，$\chi_{1} \in \widehat{G_{1}}$ と $\chi_{2} \in \widehat{G_{2}}$ が与えられたとき，

$$\chi(x_{1}, x_{2}) \coloneqq \chi_{1}(x_{1})\chi_{2}(x_{2})$$

と定めれば，

$$\chi((x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})) = \chi(x_{1},x_{2})\chi(y_{1},y_{2})$$

が成り立つので，これは $G_{1}\times G_{2}$ の指標である． したがって，直積群の指標は各成分の指標の組と一対一に対応する． したがって，直積を取ると指標の個数も積になる． よって $\card{\widehat{G}} = \card{G}$ が従う．

証明終わり□

この定理は，「有限アーベル群は，自分自身と同じ個数の指標を持つ」ということを意味します． ただし，自然に $G \cong \widehat{G}$ と同一視できるとは限りません． 同一視を作るには，追加の選択が必要です． なお，有限アーベル群では $G$ と $\widehat{\widehat{G}}$ の間には自然な対応がありますが， $G$ と $\widehat{G}$ の対応には一般に選択が入ります． 本稿では，非自明加法指標 $\psi$ と標準内積を選ぶことで， 後に $\mathbb{F}_{q}^{E}$ とその指標群を具体的に結びます． 符号理論では，標準内積と非自明な加法指標を選ぶことで，具体的な同一視を作ります．

なお，定理 4.2有限アーベル群 $G$ に対して $$\card{\widehat{G}} = \card{G}$$ が成り立つ．定理 4.2 は一般の有限アーベル群についての背景定理であり， その証明では有限アーベル群の基本定理を黒箱として用いました． しかし，本稿で実際に必要になる $G=\mathbb{F}_{q}^{E}$ の場合には， この一般定理を使わず，有限体の加法指標の具体的な記述から直接証明できます． 次節では，そちらの直接証明を主ルートとして用います．

以後，座標集合 $E$ は有限集合とし，$n = \card{E}$ とします． ここでは，$\mathbb{F}_{q}$ の非自明な加法指標 $\psi$ と標準内積

を固定します．

$u \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して，写像

を

で定めます． これは $\mathbb{F}_{q}^{E}$ の加法群の指標です． 実際，$v,w \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して

です．

証明

$\Phi$ が群準同型であること

$u, u^{\prime} \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して

$$\begin{aligned} \chi_{u + u^{\prime}}(v) &= \psi\bigl((u + u^{\prime}) \cdot v \bigr)\\ &= \psi(u \cdot v)\psi(u^{\prime} \cdot v)\\ &= \chi_{u}(v)\chi_{u^{\prime}}(v) \end{aligned}$$

であるから，$\Phi$ は群準同型である．

$\Phi$ が全射であること

任意の指標 $\chi \colon \mathbb{F}_{q}^{E} \to \mathbb{C}^{\times}$ を取る． 各 $i \in E$ に対して，$i$ 成分が $1$ で他の成分が $0$ であるベクトルを $e_{i}$ とし，

$$\chi_{i}(a)\coloneqq\chi(ae_{i}) \qquad (a \in \mathbb{F}_{q})$$

と定める． このとき $\chi_{i}$ は $\mathbb{F}_{q}$ の加法指標である． 実際，

$$\chi_{i}(a+b) = \chi((a+b)e_{i}) = \chi(ae_{i}+be_{i}) = \chi_{i}(a)\chi_{i}(b)$$

である．

補題 3.6$\psi$ を $\mathbb{F}_{q}$ の非自明な加法指標とする． このとき，$\mathbb{F}_{q}$ の任意の加法指標 $\eta$ は， ただ一つの $t \in \mathbb{F}_{q}$ によって $$\eta(a)=\psi(ta) \qquad (a\in \mathbb{F}_{q})$$ と書ける．補題 3.6 より，各 $i \in E$ に対してただ一つの $u_{i} \in \mathbb{F}_{q}$ が存在して

$$\chi_{i}(a)=\psi(u_{i}a) \qquad (a \in \mathbb{F}_{q})$$

と書ける． $u=(u_{i})_{i \in E}$ とおく．

任意の $v=(v_{i})_{i \in E} \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して

$$v=\sum_{i \in E} v_{i}e_{i}$$

であるから，

$$\begin{aligned} \chi(v) &= \prod_{i \in E}\chi(v_{i}e_{i})\\ &= \prod_{i \in E}\chi_{i}(v_{i})\\ &= \prod_{i \in E}\psi(u_{i}v_{i})\\ &= \psi\left(\sum_{i \in E}u_{i}v_{i}\right)\\ &= \chi_{u}(v) \end{aligned}$$

となる．したがって，$\chi=\chi_{u}$ であり，$\Phi$ は全射である．

$\Phi$ が単射であること

$\chi_{u}=\chi_{u^{\prime}}$ とする． 任意の $i \in E$ と任意の $a \in \mathbb{F}_{q}$ に対して

$$\psi(u_{i}a) = \chi_{u}(ae_{i}) = \chi_{u^{\prime}}(ae_{i}) = \psi(u^{\prime}_{i}a)$$

である． 補題 3.6$\psi$ を $\mathbb{F}_{q}$ の非自明な加法指標とする． このとき，$\mathbb{F}_{q}$ の任意の加法指標 $\eta$ は， ただ一つの $t \in \mathbb{F}_{q}$ によって $$\eta(a)=\psi(ta) \qquad (a\in \mathbb{F}_{q})$$ と書ける．補題 3.6 の一意性より $u_{i}=u^{\prime}_{i}$ が従う． これはすべての $i \in E$ について成り立つので，$u=u^{\prime}$ である． よって $\Phi$ は単射である．

よって $\Phi$ は全単射な群準同型であるため，群同型である．

証明終わり□

一般の有限アーベル群の個数定理を使う別証明もあります． まず上と同様に $\Phi$ が群準同型であることを示し， さらに $\chi_{u}$ が自明指標なら $u=0$ であることを従来通り確かめます． 実際，$u \neq 0$ なら，ある $i \in E$ に対して $u_{i} \neq 0$ です． $\psi$ は非自明なので，ある $a \in \mathbb{F}_{q}$ が存在して $\psi(a) \neq 1$ です． $v \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ を

で定めると，$u \cdot v = a$ なので

となり，$\chi_{u}$ は自明ではありません． したがって $\Phi$ は単射です． さらに $\card{\mathbb{F}_{q}^{E}}=q^{n}$ であり， 定理 4.2有限アーベル群 $G$ に対して $$\card{\widehat{G}} = \card{G}$$ が成り立つ．定理 4.2 により

ですから，有限集合の間の単射 $\Phi$ は全射でもあります． この別証明は一般の有限アーベル群についての個数定理を使っていますが， 上の主証明はそれを使っていません．

この同型は，固定した非自明な加法指標 $\psi$ と標準内積の選択に依存しています． その選択のもとで，$\mathbb{F}_{q}^{E}$ の元 $u$ を， 指標 $v \mapsto \psi(u \cdot v)$ と同一視できるようになります． 実は，MacWilliams恒等式の証明そのものに必要なのは， 各 $u \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ から指標 $\chi_{u}(v)=\psi(u \cdot v)$ が得られることと， その指標が $C$ 上で自明であることと $u \in C^{\perp}$ が同値であることだけです． 本稿では指標論入門として，さらに $\mathbb{F}_{q}^{E}$ の指標がすべてこの形で書けることも説明します．

指標論の最も基本的な事実は，非自明な指標の和は消える，というものです．

証明

$\chi = 1_{G}$ なら，すべての $x \in G$ に対して $\chi(x) = 1$ なので， 和は $\card{G}$ である．

次に $\chi \neq 1_{G}$ とする． このとき，ある $a \in G$ が存在して $\chi(a) \neq 1$ である．

$$S \coloneqq \sum_{x \in G} \chi(x)$$

とおく． $x$ が $G$ 全体を動くとき，$x + a$ も $G$ 全体を一度ずつ動くので，

$$\begin{aligned} S &= \sum_{x \in G}\chi(x + a)\\ &= \sum_{x \in G}\chi(x)\chi(a)\\ &= \chi(a)S. \end{aligned}$$

よって $(1 - \chi(a))S = 0$ である． いま $\chi(a) \neq 1$ なので，$S = 0$ となる．

証明終わり□

この定理は，群全体に対する直交関係です． MacWilliams恒等式では，符号 $C$ という部分群上で和を取ります． その場合も同じ議論が使えます．

証明

$\chi$ を $H$ に制限した指標

$$\chi|_{H} \colon H \to \mathbb{C}^{\times}$$

に 定理 6.1$G$ を有限アーベル群とし，$\chi \in \widehat{G}$ とする． このとき $$\sum_{x \in G}\chi(x) = \begin{cases} \card{G}, & \chi = 1_{G},\\ 0, & \chi \neq 1_{G} \end{cases}$$ が成り立つ．定理 6.1 を適用すればよい．

証明終わり□

この直交関係の意味を，少し言葉で整理しておきます． 指標 $\chi$ が $H$ 上で常に $1$ なら，和は単に $1$ を $\card{H}$ 個足すだけなので $\card{H}$ です． 一方，$H$ 上で少しでも振動するなら，値が複素平面上で打ち消し合い，和は $0$ になります．

部分群上で自明になる指標たちには名前を付けます．

$H^{\circ}$ は $\widehat{G}$ の部分群です． 実際，自明指標 $1_{G}$ は任意の $h \in H$ に対して $1_{G}(h)=1$ なので $H^{\circ}$ に属します． また，$\chi,\eta \in H^{\circ}$ なら任意の $h \in H$ に対して

であり，また

ですから，部分群の条件を満たします． 系 6.2（部分群上の直交関係）$G$ を有限アーベル群，$H \leq G$ を部分群とする． $\chi \in \widehat{G}$ に対して $$\sum_{h \in H}\chi(h) = \begin{cases} \card{H}, & \chi(h) = 1 \text{ for all } h \in H,\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ が成り立つ．系 6.2 は，零化部分群を使うと次のように書けます．

この式を $G=\mathbb{F}_{q}^{E}$，$H=C$ に適用します． ここで，現れる対象の所在を整理しておきます．

$C^{\perp}$

$\mathbb{F}_{q}^{E}$ の部分空間であり，内積で $C$ と直交するベクトル全体です．

$\widehat{\mathbb{F}_{q}^{E}}$

$\mathbb{F}_{q}^{E}$ の加法群の指標全体です．

$C^{\circ}$

$\widehat{\mathbb{F}_{q}^{E}}$ の部分群であり，$C$ 上で自明になる指標全体です．

$u \mapsto \chi_{u}$

固定した $\psi$ と標準内積に依存する同型であり， $\mathbb{F}_{q}^{E}$ と $\widehat{\mathbb{F}_{q}^{E}}$ を結びます．

したがって，厳密には $C^{\perp}$ と $C^{\circ}$ は別々の場所にあります． 前者は $\mathbb{F}_{q}^{E}$ の部分空間であり，後者は $\widehat{\mathbb{F}_{q}^{E}}$ の部分群です． 以下で言う「対応」は，固定した同型 $u \mapsto \chi_{u}$ を通した対応を意味します．

$\mathbb{F}_{q}^{E}$ とその指標群を 定理 5.1写像 $$\Phi \colon \mathbb{F}_{q}^{E} \to \widehat{\mathbb{F}_{q}^{E}}, \qquad u \mapsto \chi_u$$ は群同型である．定理 5.1 の同型

で結びます． この同型を通して見ると，$C$ の零化部分群は $C^{\perp}$ に対応します．

先に注意したように，一般に非自明な加法指標 $\psi$ についても

は成り立ちません．特に $q=p^{m}$，$m>1$ のとき， トレースから作る標準的な加法指標は核を持ちます． したがって $\chi_{u}(c)=\psi(u\cdot c)=1$ から直ちに $u\cdot c=0$ とは言えず， 後の証明では $C$ の $\mathbb{F}_{q}$-線形性を使います．

ここで次の補助事実を使います． $\psi$ を $\mathbb{F}_{q}$ の非自明な加法指標とするとき，$d \in \mathbb{F}_{q}$ が $d \neq 0$ なら

も非自明な加法指標です． 実際，$a \mapsto ad$ は $\mathbb{F}_{q}$ の全単射であり， もし $\psi(ad)=1$ がすべての $a$ で成り立つなら，$\psi$ は $\mathbb{F}_{q}$ 全体で $1$ になってしまいます．

証明

($\impliedby$)

$u \in C^{\perp}$ とする． このとき任意の $c \in C$ に対して $u \cdot c = 0$ であるから，

$$\chi_{u}(c) = \psi(u \cdot c) = \psi(0) = 1.$$

よって $\chi_{u} \in C^{\circ}$ である．

($\implies$)

$\chi_{u}\in C^\circ$ とする． $u\notin C^\perp$ と仮定し，矛盾を導く． このとき，ある $c_{0} \in C$ が存在して $u \cdot c_{0} \neq 0$ である． $d = u \cdot c_{0}$ とおくと $d \neq 0$ であり， $a \mapsto \psi(ad)$ は $\mathbb{F}_{q}$ の非自明な加法指標である． したがって，ある $a \in \mathbb{F}_{q}$ に対して

$$\psi(ad)\neq 1$$

となる． しかし $C$ は線形符号なので $ac_{0} \in C$ であり，

$$\chi_{u}(ac_{0}) = \psi(u \cdot ac_{0}) = \psi(a(u \cdot c_{0})) = \psi(ad) \neq 1.$$

これは $\chi_{u}$ が $C$ 上で自明であることに反する． よって $u \in C^{\perp}$ である．

以上により，$\chi_{u} \in C^{\circ}$ と $u \in C^{\perp}$ は同値である．

証明終わり□

この定理によって，固定した同型 $u \mapsto \chi_{u}$ を通して見ると， $u \in C^{\perp}$ であることは，対応する指標 $\chi_{u}$ が $C$ 上で自明であることと同値になります． この見方が，指標論的証明の中心です．

証明

系 6.2（部分群上の直交関係）$G$ を有限アーベル群，$H \leq G$ を部分群とする． $\chi \in \widehat{G}$ に対して $$\sum_{h \in H}\chi(h) = \begin{cases} \card{H}, & \chi(h) = 1 \text{ for all } h \in H,\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ が成り立つ．系 6.2 を $G=\mathbb{F}_{q}^{E}$, $H=C$, $\chi=\chi_u$ に適用し， 定理 7.2上の同型のもとで，$C^{\circ}$ は $C^{\perp}$ に対応する． すなわち，$u \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して $$\chi_{u} \in C^{\circ} \iff u \in C^{\perp}$$ が成り立つ．定理 7.2 を使えばよい．

証明終わり□

この式は非常に重要です． 左辺は $C$ 上の指標和です． 右辺は，$u$ が $C^{\perp}$ に入っているかどうかを表す指示関数です． つまり，

です． 指標論的証明では，この式を使って $C^{\perp}$ 上の和を $C$ 上の和に変換します．

ここで，MacWilliams恒等式に入る前に，もう少し一般の形で公式を書いておきます． $V = \mathbb{F}_{q}^{E}$ とし，$f \colon V \to \mathbb{C}$ を任意の関数とします．

ここでは係数 $1/\card{\mathbb{F}_{q}^{E}}$ を付けない形を採用します． 文献によっては正規化の置き方や符号の付け方が異なりますが， 本稿では後のMacWilliams恒等式に合わせてこの形を使います． また，本稿ではFourier反転公式そのものは使わず， $C^{\perp}$ 上の和を $C$ 上の和へ移すためにこの変換を使います．

この変換は通常，有限アーベル群上のFourier変換と呼ばれます． ただし本稿では，指標論入門という観点を保つため， 「指標で重みを付けて和を取る操作」として扱います．

有限Poisson和公式とは，$C^{\perp}$ 上で直接和を取る代わりに， $C$ 上の指標和へ変換する公式です． 名前は少し大きく聞こえますが，本稿で使う範囲では，高度な解析定理ではありません． 実際には，$\mathbf{1}_{C^{\perp}}$ を指標和で表し，有限和の順序を入れ替えるだけです． 名前に Poisson と付いていますが，ここでは積分や極限は現れず， すべて有限集合上の和だけを扱います．

証明

系 7.3任意の $u \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して $$\frac{1}{\card{C}}\sum_{c \in C}\psi(u\cdot c) = \begin{cases} 1, & u \in C^{\perp},\\ 0, & u \notin C^{\perp} \end{cases}$$ が成り立つ．系 7.3 より

$$\mathbf{1}_{C^{\perp}}(u) = \frac{1}{\card{C}}\sum_{c \in C}\psi(u\cdot c)$$

である．したがって

$$\begin{aligned} \sum_{u \in C^{\perp}} f(u) &= \sum_{u \in \mathbb{F}_{q}^{E}} f(u)\mathbf{1}_{C^{\perp}}(u)\\ &= \sum_{u \in \mathbb{F}_{q}^{E}} f(u) \frac{1}{\card{C}}\sum_{c \in C}\psi(u\cdot c)\\ &= \frac{1}{\card{C}} \sum_{c \in C} \sum_{u \in \mathbb{F}_{q}^{E}} f(u)\psi(c\cdot u)\\ &= \frac{1}{\card{C}} \sum_{c \in C}\widehat{f}(c). \end{aligned}$$

ここで，$u \cdot c = c\cdot u$ を用いた．

証明終わり□

係数の正規化を確認するために，$f \equiv 1$ の場合を見ておきます． このとき左辺は $\card{C^{\perp}}$ です． 一方，右辺で

であり，$c \neq 0$ なら $u \mapsto \psi(c\cdot u)$ は 定理 5.1写像 $$\Phi \colon \mathbb{F}_{q}^{E} \to \widehat{\mathbb{F}_{q}^{E}}, \qquad u \mapsto \chi_u$$ は群同型である．定理 5.1 により非自明な指標なので，

定理 6.1$G$ を有限アーベル群とし，$\chi \in \widehat{G}$ とする． このとき $$\sum_{x \in G}\chi(x) = \begin{cases} \card{G}, & \chi = 1_{G},\\ 0, & \chi \neq 1_{G} \end{cases}$$ が成り立つ．定理 6.1 より成り立ちます． したがって右辺は

です． これは，通常の双対符号についての次元公式

から従う

と一致します． これは有限Poisson和公式の証明に使った事実ではなく， 係数 $1/\card{C}$ の正規化が整合していることの確認です．

この定理が，MacWilliams恒等式のほとんどすべてです． 上では $f$ を複素数値関数として述べました． 以下で扱う $F_{X,Y}$ は $\mathbb{C}\lbrack X, Y \rbrack$ 値ですが， 各係数に対して複素数値関数の場合を適用すればよいので， 同じ証明をそのまま使えます． 以下では，重み多項式を扱うために，多項式値関数にもこの公式を適用します． 残る作業は，重み多項式に対応する関数 $f$ を取り， その指標和変換 $\widehat{f}$ を計算することだけです．

MacWilliams恒等式に使う関数は，各座標に分解できます． このため，まず一座標の計算をします．

$X$, $Y$ を不定元とし，関数

を

で定めます．この関数は，一つの座標が $0$ なら $X$，非零なら $Y$ を返す関数です．

まず $\mathbb{F}_{2}$ の場合を見ておきます． 非自明加法指標を $\psi(a)=(-1)^{a}$ とすると，$b=0$ のとき

であり，$b=1$ のとき

です． これが，一般の場合の $X+(q-1)Y$ と $X-Y$ の原型になっています．

証明

まず $b = 0$ とする．このとき $\psi(ba) = \psi(0) = 1$ なので，

$$\sum_{a \in \mathbb{F}_{q}}\varphi_{X,Y}(a)\psi(ba) = \sum_{a \in \mathbb{F}_{q}}\varphi_{X,Y}(a) = X + (q - 1)Y$$

である．

次に $b \neq 0$ とする．このとき，$a \mapsto ba$ は $\mathbb{F}_{q}$ の置換であり， $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ の置換でもある．よって

$$\begin{aligned} \sum_{a \in \mathbb{F}_{q}}\varphi_{X, Y}(a) \psi(ba) &= X + Y\sum_{a \in \mathbb{F}_{q}^{\times}}\psi(ba)\\ &= X + Y\sum_{t \in \mathbb{F}_{q}^{\times}}\psi(t). \end{aligned}$$

ここで $\psi$ は非自明な指標なので，定理 6.1$G$ を有限アーベル群とし，$\chi \in \widehat{G}$ とする． このとき $$\sum_{x \in G}\chi(x) = \begin{cases} \card{G}, & \chi = 1_{G},\\ 0, & \chi \neq 1_{G} \end{cases}$$ が成り立つ．定理 6.1 より

$$\sum_{t \in \mathbb{F}_{q}}\psi(t) = 0$$

である．したがって

$$\sum_{t \in \mathbb{F}_{q}^{\times}}\psi(t) = -\psi(0) = -1$$

である．よって

$$\sum_{a \in \mathbb{F}_{q}}\varphi_{X,Y}(a)\psi(ba) = X - Y$$

となる．

証明終わり□

この一座標の計算から，変数変換

が現れます． $0$ 座標では $X + (q - 1)Y$ が現れ，非零座標では $X - Y$ が現れる，というわけです．

$V = \mathbb{F}_{q}^{E}$ とします． 重み多項式は，次の関数を使って書けます：

すると，任意の符号 $D \leq V$ に対して

です．

また，$F_{X,Y}$ は座標ごとの積として

と書けます．この分解が，指標和変換の計算を一座標の計算へ落としてくれます．

証明

定義より

$$\begin{aligned} \widehat{F_{X, Y}}(c) &= \sum_{u \in \mathbb{F}_{q}^{E}}F_{X,Y}(u)\psi(c\cdot u)\\ &= \sum_{u \in \mathbb{F}_{q}^{E}} \prod_{i \in E}\varphi_{X,Y}(u_i) \psi\left(\sum_{i \in E} c_{i} u_{i} \right). \end{aligned}$$

$\psi$ は加法指標なので

$$\psi\left(\sum_{i \in E} c_{i} u_{i} \right) = \prod_{i \in E} \psi(c_i u_i)$$

である．したがって

$$\begin{aligned} \widehat{F_{X,Y}}(c) &= \sum_{u \in \mathbb{F}_{q}^{E}} \prod_{i \in E}\varphi_{X, Y}(u_{i})\psi(c_{i} u_{i})\\ &= \prod_{i \in E} \left( \sum_{a \in \mathbb{F}_{q}}\varphi_{X,Y}(a)\psi(c_{i} a) \right). \end{aligned}$$

最後の等号では，有限直積上の和が各座標の和の積に分解することを用いた． 例えば $E=\{1,2\}$ なら，

$$\sum_{u_{1},u_{2}} A_{1}(u_{1})A_{2}(u_{2}) = \left(\sum_{u_{1}} A_{1}(u_{1})\right) \left(\sum_{u_{2}} A_{2}(u_{2})\right)$$

となるのと同じです．

定理 9.1$b \in \mathbb{F}_{q}$ に対して $$\sum_{a \in \mathbb{F}_{q}} \varphi_{X, Y}(a) \psi(ba) = \begin{cases} X + (q - 1)Y, & b = 0,\\ X - Y, & b\neq 0 \end{cases}$$ が成り立つ．定理 9.1 より，各座標 $i$ の因子は

$$\begin{cases} X + (q - 1)Y, & c_{i} = 0,\\ X - Y, & c_{i} \neq 0 \end{cases}$$

である．$c$ の零座標の個数は $n - \wt(c)$，非零座標の個数は $\wt(c)$ なので，

$$\widehat{F_{X,Y}}(c) = \bigl( X + (q - 1)Y \bigr)^{n - \wt(c)}(X - Y)^{\wt(c)}$$

を得る．

証明終わり□

この定理は，MacWilliams恒等式の変数変換そのものです． 変数 $X + (q - 1)Y$ と $X - Y$ は，重み関数の一座標指標和から現れます．

いよいよMacWilliams恒等式を証明します．ここまでの準備を組み合わせるだけです．

$V = \mathbb{F}_{q}^{E}$ とし，$F_{X,Y}(u) = X^{n - \wt(u)}Y^{\wt(u)}$ と置きます． すると

です．定理 8.2（有限Poisson和公式）任意の関数 $f \colon \mathbb{F}_{q}^{E} \to \mathbb{C}$ に対して $$\sum_{u \in C^{\perp}} f(u) = \frac{1}{\card{C}} \sum_{c \in C}\widehat{f}(c)$$ が成り立つ．定理 8.2 を $f = F_{X,Y}$ に適用すると，

です．ここで 定理 10.1$c \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して $$\widehat{F_{X,Y}}(c) = \bigl(X + (q - 1)Y \bigr)^{n - \wt(c)}(X - Y)^{\wt(c)}$$ が成り立つ．定理 10.1 より

なので，

これでMacWilliams恒等式が証明されました．

この証明の流れを一文で言えば，次のようになります．

固定した同型 $u \mapsto \chi_{u}$ を通して見ると， $u \in C^{\perp}$ のとき，対応する指標 $\chi_{u}$ は $C$ 上で自明になり， 重み関数の指標和変換がMacWilliams変数変換を与える．

指標和がどのように双対符号を取り出しているかを，小さな例で見ておきます． $\mathbb{F}_{2}^{2}$ 上の符号

を考えます． これは一次元の反復符号です． $\mathbb{F}_{2}$ の非自明加法指標として

を取ります．

この符号は自己双対です．実際，$u = (u_{1}, u_{2})$ が $C$ の元 $(1, 1)$ と直交する条件は

であり，これは $u = (0, 0)$ または $u = (1, 1)$ を意味します． したがって $C^{\perp} = C$ です．

系 7.3任意の $u \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ に対して $$\frac{1}{\card{C}}\sum_{c \in C}\psi(u\cdot c) = \begin{cases} 1, & u \in C^{\perp},\\ 0, & u \notin C^{\perp} \end{cases}$$ が成り立つ．系 7.3 は，$u \in \mathbb{F}_{2}^{2}$ に対して

となることを主張しています． 実際，$C = \{ (0, 0), (1, 1) \}$ なので，左辺は

です．これは $u_{1} + u_{2} = 0$ のとき $1$，$u_{1} + u_{2} = 1$ のとき $0$ になります． つまり，指標和が $C^{\perp}$ の指示関数を作っています．

重み多項式は

です．MacWilliams恒等式の右辺は

となり，$W_{C^{\perp}}(X,Y)=W_{C}(X,Y)$ と一致します．

この例では，すべての計算が

という指標の直交関係から出ていることが見えます．

なお，この例では $q=2$ なので，非自明加法指標 $\psi(x)=(-1)^{x}$ は

という性質を持っています． しかし $q=p^{m}$，$m>1$ の場合には，非零の $x$ でも $\Tr(x)=0$ となることがあり， そのような $x$ に対してトレースから作った $\psi$ は $\psi(x)=1$ になります． したがって一般の証明では，$\psi(u\cdot c)=1$ から $u\cdot c=0$ と結論せず， $C$ の $\mathbb{F}_{q}$ 線形性を使っています．

証明の中で指標論が担っていた役割を整理しておきます．

第一に，指標論は双対符号の意味を変えました．通常，双対符号は内積によって

と定義されます． 固定した同型 $u \mapsto \chi_{u}$ を通して見ると，$u \in C^{\perp}$ であることは， 対応する指標 $\chi_{u}$ が $C$ 上で自明であることと同値です． 実際，これは

と書けます．

第二に，指標の直交関係により，$C^{\perp}$ の指示関数が

と書けました． これにより，$C^{\perp}$ 上の和を $C$ 上の和に変換できました．

第三に，重み関数

の指標和変換が，各座標の指標和に分解しました． 一座標の計算

から，MacWilliams恒等式の変数変換が現れました．

したがって，指標論的証明の要点は次の三つです．

1. $\mathbb{F}_{q}^{E}$ の元を指標 $v \mapsto \psi(u \cdot v)$ として見る．

2. 固定した同型 $u \mapsto \chi_{u}$ を通して，$C^{\perp}$ を $C$ 上で自明な指標に対応させる．

3. 指標直交性により，$C^{\perp}$ 上の重み和を $C$ 上の指標和へ変換する．

この三つが組み合わさって，MacWilliams恒等式が得られます．

この回では，MacWilliams恒等式の証明を目標にしながら， 有限アーベル群の指標論の基本的な道具を導入しました． 整理すると次のようになります．

有限アーベル群

加法に関して結合律，零元，逆元，可換性を持つ有限集合です． $\mathbb{F}_{q}^{E}$ は有限アーベル群です．

指標

有限アーベル群 $G$ から $\mathbb{C}^{\times}$ への群準同型

$$\chi\colon G\to\mathbb{C}^{\times}$$

です．加法を掛け算に変える関数です．

自明な指標

すべての元を $1$ に送る指標です．

指標群

$G$ の指標全体 $\widehat{G} = \Hom(G,\mathbb{C}^{\times})$ です．点ごとの積で有限アーベル群になります．

加法指標

有限体 $\mathbb{F}_{q}$ の加法群の指標です． 非自明な加法指標 $\psi$ を固定すると， $u \in \mathbb{F}_{q}^{E}$ から指標

$$\chi_{u}(v) = \psi(u \cdot v)$$

が得られます．

直交関係

非自明な指標の群全体での和は $0$ になります． 部分群上でも，同じように，その部分群上で自明でない指標の和は $0$ になります．

零化部分群

部分群 $H \leq G$ に対し，$H$ 上で自明になる指標全体

$$H^{\circ} = \{ \chi \in \widehat{G}:\chi(h) = 1\text{ for all }h\in H\}$$

です．符号理論では，固定した同型 $u \mapsto \chi_{u}$ を通して， $C$ の零化部分群が $C^{\perp}$ に対応します．

有限Poisson和公式

関数 $f\colon\mathbb{F}_{q}^{E} \to \mathbb{C}$ に対して

$$\sum_{u \in C^{\perp}}f(u) = \frac{1}{\card{C}}\sum_{c\in C}\widehat{f}(c)$$

という形で，双対符号上の和を元の符号上の和に変換する公式です．

今回の証明では，指標論を使って $C$ と $C^{\perp}$ の関係を 「直交補」から「零化部分群との対応」へ読み替えました． この読み替えにより，双対符号が指標の直交関係から自然に出てきます．

冒頭で述べたように，今回の証明は

Fourier・指標・Poisson系

に属します． 表面的には，有限アーベル群の指標を使った証明です． しかし，深いところでは，有限アーベル群上のFourier解析を使っています．

より具体的には，次の対応がありました．

この見方では，MacWilliams恒等式は，有限アーベル群上のPoisson和公式の特殊な場合です． ただし，連続的な解析で出てくるPoisson和公式と違って，ここではすべての和が有限和です． そのため，収束や積分の問題は現れません．

今回の証明の要点は，次の一文にまとめられます．

固定した同型 $u \mapsto \chi_{u}$ を通して見ると， $C^{\perp}$ は $C$ 上で自明になる指標たち，すなわち $C^{\circ}$ に対応する． この対応と指標直交性により，$C^{\perp}$ 上の重み和を，元の符号 $C$ 上の指標和へ変換できる．

この考え方は，古典的なMacWilliams恒等式だけでなく， 完全重み多項式，有限アーベル群上の加法的符号，Frobenius環上の符号など， より一般のMacWilliams型恒等式にも現れます．

Wood [Woo99] によって証明された Frobenius環上のMacWilliams恒等式では， 生成指標を用いた環と指標群の同一視が中心的役割を果たします． さらに進んだ一般化として，Wood [Woo99]より少し具体的に 「有限Frobenius環上のMacWilliams型恒等式」を扱う文献として [HL01] が挙げられます． ここでは，有限Frobenius環上の線形符号について， 複数の重み分布に対するMacWilliams型恒等式が統一的に扱われています．

次回は，今回の指標論的証明を，行列とテンソル積の言葉で見直します．

今回の証明では，$\mathbb{F}_{q}$ の非自明加法指標 $\psi$ を使って， 各座標で

という和を計算しました． この一座標の変換は，実は $q\times q$ 行列として表せます． そして，長さ $n$ の符号に対する変換は，その行列の $n$ 回テンソル積として表せます．

つまり，今回の証明を

という形で翻訳できます． 指標論を見えないところへ押し込めると，MacWilliams恒等式は 「あるHadamard型行列のテンソル積が重み多項式に作用する公式」として見えてきます．

同じFourier・指標・Poisson系の証明であっても， 指標を前面に出すか，行列を前面に出すかで，見え方は大きく変わります． 次回は，その違いを見ながら，テンソル積線形代数に入門します．

脚注

1. とはいえ，完全に忘れ去ってすべての議論が進むわけではありません． 多くの部分は加法群としての構造で進みますが， 後で述べる零化部分群 $C^{\circ}$ と通常の双対符号 $C^{\perp}$ を一致させる場面では， $a \in \mathbb{F}_{q}$ かつ $c \in C$ なら $ac \in C$ という， $C$ の $\mathbb{F}_{q}$-線形性を使います． ↩
2. $x^{\prime}$ と $x^{\prime\prime}$ がいずれも $x \in G$ の逆元であるとすると， $x^{\prime} = x^{\prime} + 0 = x^{\prime} + (x + x^{\prime\prime}) = (x^{\prime} + x) + x^{\prime\prime} = 0 + x^{\prime\prime} = x^{\prime\prime}$ となります（証明から，可換性 (G4)$x + y = y + x$．(G4) の仮定がなくても成り立ちます）． ↩
3. ここでは，加法記法の群 $G$ から乗法記法の群 $G^{\prime}$ への準同型 $f \colon G \to G^{\prime}$ を考えます． $G$ の単位元を $0$，$G^{\prime}$ の単位元を $1_{G^{\prime}}$ とすると， $f(0) = f(0)1_{G^{\prime}} = f(0)(f(0)f(0)^{-1}) = (f(0)f(0))f(0)^{-1} = f(0 + 0)f(0)^{-1} = f(0)f(0)^{-1} = 1_{G^{\prime}}$ です． が従います． ↩
4. $x \in G$ の位数とは，$mx \coloneqq \underbrace{x + \dots + x}_{m\text{ 個}} = 0$ となる最小の正整数 $m$ のことでした （乗法の表記を用いる場合は $x^{m} \coloneqq \underbrace{x \dotsm x}_{m\text{ 個}} = 1$ となる最小の正整数 $m$ のことです）． ↩
5. 英語の annihilator は əˈnʌɪəleɪtə と発音します． 不正確を承知で，敢えてカタカナで表記すると「アナイアレイタ」に近いです． また，「零化」という名前ですが，指標の値が $0$ になるという意味ではありません． 指標の値が乗法群の単位元 $1$ になる，すなわち部分群上で自明になるという意味です． 加群論の零化イデアルなどに倣って，ここではこの名前を使います． ↩

参考文献

1. [Ter99] Audrey Terras. Fourier analysis on finite groups and applications. Cambridge University Press, Cambridge, vol. 43, pp. x+442, 1999. doi:10.1017/CBO9780511626265 引用箇所有限群の指標と有限Fourier解析については， Terras [Ter99] や Stein–Shakarchi [SS03] が標準的な参考文献です． 有限体のトレース写像や加法指標については，Lidl–Niederreiter [LN97] を参照してください．↩
2. [SS03] Elias M. Stein and Rami Shakarchi. Fourier analysis. Princeton University Press, Princeton, NJ, vol. 1, pp. xvi+311, 2003 引用箇所有限群の指標と有限Fourier解析については， Terras [Ter99] や Stein–Shakarchi [SS03] が標準的な参考文献です． 有限体のトレース写像や加法指標については，Lidl–Niederreiter [LN97] を参照してください．↩
3. [LN97] Rudolf Lidl and Harald Niederreiter. Finite fields. Cambridge University Press, Cambridge, vol. 20, pp. xiv+755, 1997 引用箇所有限群の指標と有限Fourier解析については， Terras [Ter99] や Stein–Shakarchi [SS03] が標準的な参考文献です． 有限体のトレース写像や加法指標については，Lidl–Niederreiter [LN97] を参照してください．↩
4. [Woo99] Jay A. Wood. Duality for modules over finite rings and applications to coding theory. Amer. J. Math., vol. 121, no. 3, pp. 555–575, 1999. http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v121/121.3wood.pdf 引用箇所Wood [Woo99] によって証明された Frobenius環上のMacWilliams恒等式では， 生成指標を用いた環と指標群の同一視が中心的役割を果たします． さらに進んだ一般化として，Wood [Woo99]より少し具体的に 「有限Frobenius環上のMacWilliams型恒等式」を扱う文献として [HL01] が挙げられます． ここでは，有限Frobenius環上の線形符号について， 複数の重み分布に対するMacWilliams型恒等式が統一的に扱われています．↩1 引用箇所Wood [Woo99] によって証明された Frobenius環上のMacWilliams恒等式では， 生成指標を用いた環と指標群の同一視が中心的役割を果たします． さらに進んだ一般化として，Wood [Woo99]より少し具体的に 「有限Frobenius環上のMacWilliams型恒等式」を扱う文献として [HL01] が挙げられます． ここでは，有限Frobenius環上の線形符号について， 複数の重み分布に対するMacWilliams型恒等式が統一的に扱われています．↩2
5. [HL01] Thomas Honold and Ivan Landjev. MacWilliams identities for linear codes over finite Frobenius rings. Finite fields and applications (Augsburg, 1999), pp. 276–292, 2001 引用箇所Wood [Woo99] によって証明された Frobenius環上のMacWilliams恒等式では， 生成指標を用いた環と指標群の同一視が中心的役割を果たします． さらに進んだ一般化として，Wood [Woo99]より少し具体的に 「有限Frobenius環上のMacWilliams型恒等式」を扱う文献として [HL01] が挙げられます． ここでは，有限Frobenius環上の線形符号について， 複数の重み分布に対するMacWilliams型恒等式が統一的に扱われています．↩